Элементы математической статистики

Удобно пересечение множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера–Венна

Объединением двух множеств А и В называется множество, состо-ящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из  множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B

A ∪ B = { х | х ∈ A или х ∈ B }.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B.

A \ B = { х | х ∈ A и х ∉ B }.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному множеству А или В, обозначают A Δ B

Часто при решении задач вводят универсальное множество U — это самое большое множество элементов, рассматриваемых в задаче. Дополнением множества A до универсального называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A. Обозначают дополнение множества

Ā = U \ A = { х | х ∈ U, х ∉ A }

Примеры эадания множеств

1. Пусть A — множество остатков от деления натуральных чисел на 5, тогда A = {0; 1; 2; 3; 4}.

2. Если B = { n | n ∈ N, 3 ≤ n ≤ 12} — множество натуральных чисел, заключенных между 3 и 12, то B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

3. Если D = { х | х ∈ R, –3 ≤ х ≤ 4}, то D — отрезок [–3; 4].

4. Если X = { х | х ² – 3 х + 2 = 0} — множество корней квадрат-ного уравнения, то X = {1; 2}.

Примеры множеств и их подмножеств:

1) Пусть N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел,

Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных чисел. Тогда N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

2) Пусть А — множество букв русского алфавита, В — множество гласных букв русского алфавита, тогда В ⊂ А.

3) Пусть А — множество линий на плоскости, В — множество прямых на плоскости, то В ⊂ А.

Пересечение (пример)

1. А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда A ∩ B — отрезок [2; 5].

 Решить

2. Найдите А ∩ В, если а) А = (–3; 7), В = (1; 8);   б) А = [0; 5], B = [5; 8];

 

Объединение (пример)

1. А = [0; 7], В = [3; 10], тогда A ∪ B = [0; 10].

Решить

2. А = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, тогда A ∪ B =

3. А = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2}, В = {4; 3; 2; 1; 0; –1; –2}, С = { x | –4 ≤ x < 5}.

Запишите следующие множества А ∪ В, А ∪ С,В ∪ С, A ∪ B ∪ C

Разность (пример)

1. А = [–2; 0), B = [–1; 3). Тогда A \ B = [–2; –1), а B \ A = [0; 3).

Решить

2. Найдите A \ B, В \ А: а) А = [–11; 4], B = (2; 8];     

б) A = [2; 7]; B = [8; 12];

Элементы математической статистики

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2,..., 100.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения—соответствующими строчными буквами х, у, z.

Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число

возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

X x₁ x₂... х_n

Р    p ₁ p ₂... p _n

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное значение, следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: p ₁ + p ₂ +... + p _n= 1

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x_l, x₂,..., х_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂,..., р_n.

Математическое ожидание М(X) случайной величины X определяется равенством                              М (X) = х₁р₁ + х₂р₂ +... + х_nр_n.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пример.. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель р₁ = 0,6, p₂ = 0,4, р₃ = 0,5 и р₄ = 0,7- Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Отв. 2,2 попадания.

 

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математичес-кое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) =M[X—M(X) ]²

Пусть случайная величина задана законом распределения

X    х₁       х₂   ... х_n

р     р₁  р₂ … р_n

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[Х-М(Х)]²       [х_l-M(X)]²    [х₂-М(Х)]²    ...   [х_n-М(Х) ]²

р                        р₁                     р₂       …              р_n

По определению дисперсии

D(X) =M[X—M(X) ]² == [x₁-M (X)]²р_l + [x₂-M (X)]²р₂ +...+ [х_n-М (Х)]²р_n.

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характерис-тики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

 

Задание. Согласно приведённому выше примеру  найти математические ожидания, дисперсию случайных величин и среднее квадратичное отклонение σ(Х).