Теоретический материал для самостоятельного изучения

Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

· Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;

· Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;

· Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус (y = arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x = sin y). Он имеет область определения и множество значений .

Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y). Он имеет область определения и множество значений

Арктангенс (y = arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x = tg y). Он имеет область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y). Он имеет область определения и множество значений

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус (y = arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x = sin y).

Свойства	Функции y=arcsin х
E(f)
D(f)
Чётность	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= - arcsin x
Промежутки монотонности	Возрастающая

Рис.1 График функции y=arcsin х

Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.

Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y).

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)
D(f)
Чётность	Ни чётная, ни нечётная
Промежутки монотонности	Убывающая

Рис.2 График функции y=arccos х

Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.

Арктангенс (y = arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x = tg y).

Арккотангенс (y = arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y).

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)
Чётность	Нечётная	Нечётная
Промежутки монотонности	Возрастающая	Убывающая

Рис.3 График функции y=arctgx

Рис.4 График функции y=arcсtgx

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1. Вычислить

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций

а)

б)

в)

г)

Ответ. .

Задача №2. Вычислить

.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. В данном случае – это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей.

а)

б)

в)

г)

Ответ. .

 

 

Задача №3. Вычислить .

а) Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

.

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

 

б)

вспомним, что , т.е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

 

Задача №4. Вычислить .