Показатели формы распределения

Выяснение общего характера и формы распределения предполагает количественную оценку степени его симметричности и однородности.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариант, равноотстоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы. Чем больше разница между ними, тем больше асимметрия вариационного ряда. Ряд является умеренно асимметричным, когда разность между модой и средней примерно в три раза превышает разность между медианой и средней:

Для оценки степени асимметрии используется ряд других показателей:

1). Коэффициент асимметрии Пирсона (As):

где: – средняя арифметическая;

Мо – мода;

s – среднее квадратическое отклонение.

Величина этого показателя указывает на степень асимметрии распределения:

1). Если As = 0, (т. е. ), то распределение симметричное (нормальное).

2). Если As < 0 (), то имеет место левосторонняя асимметрия (левая ветвь кривой распределения относительно максимальной ординаты центра распределения вытянута больше, чем правая).

3). Если As > 0 (), то имеет место правосторонняя асимметрия (правая ветвь кривой распределения относительно максимальной ординаты центра распределения вытянута больше, чем левая).

Если | As | > 0,25, то асимметрия значительна; если | As | < 0,25 – незначительна.

Рис. 4. Асимметрия распределения

2). Коэффициент асимметрии Линдберга:

As = П – 50,

где П – процент тех значений признака, которые превосходят по величине среднюю арифметическую.

3). Нормированный момент третьего порядка является показателем асимметрии распределения:

где: μ₃ – центральный момент распределения третьего порядка:

;

s – среднее квадратическое отклонение.

Это наиболее точный показатель оценки асимметрии. В симметричном распределении величина μ₃ равна нолю, поскольку варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, а значит, и As равен нолю.

Если μ₃ < 0, то в вариационном ряду преобладают (имеют большую частоту) варианты, которые меньше , т. е. ряд отрицательно ассиметричен (или с левосторонней скошенностью – более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия (правосторонняя скошенность – более длинная ветвь вправо) характеризуется значением μ₃ > 0.

Степень существенности этого показателя асимметрии характеризуется средней квадратической ошибкой, которая зависит от объёма наблюдения n:

Если отношение , то асимметрия существенна, если отношение , то асимметрия несущественна, её наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

Однородные статистические совокупности характеризуются одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности совокупности.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс – высоковершинность или низковершинность фактической кривой распределения по сравнению с нормальным распределением.

Высоковершинность означает положительный эксцесс и характеризуется скоплением частот в середине. Низковершинность означает отрицательный эксцесс и характеризуется большой разбросанностью частот ряда.

1). Коэффициент эксцесса Линдберга (Ex):

Ex = П – 38,29,

где П – процент количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения в ту или другую сторону от средней арифметической.

2). Нормированный момент четвёртого порядка как показатель эксцесса:

где: μ₄ – центральный момент распределения четвёртого порядка:

;

s – среднее квадратическое отклонение.

Для нормального распределения нормированный момент четвёртого порядка равен 3, поэтому для оценки заострённости исследуемого распределения в сравнении с нормальным из него вычитается 3.

1). Если Ex = 0, то распределение симметрично.

2). Если Ex > 0 (ряд распределения с положительным эксцессом), то распределение островершинное.

3). Если Ex < 0 (ряд распределения с отрицательным эксцессом), то распределение плосковершинное (рис. 5).

Рис. 5. Эксцесс распределения

Средняя квадратическая ошибка эксцесса зависит только от количества наблюдений n:

Степень приближённости вариационного ряда к нормальному распределению оценивается через числа Вестергарда, названные по имени датского статистика Харальда Людвига Вестергарда (1853-1936) (табл. 1).

Таблица 1. Числа Вестергарда

Числа Вестергарда	Условия близости ряда к нормальному распределению
Числа Вестергарда	Интервалы		Объём совокупности, %
0,3	– 0,3s	+ 0,3s	25
0,7	– 0,7s	+ 0,7s	50
1,1	– 1,1s	+ 1,1s	75
3,0	– 3,0s	+ 3,0s	99

Пример 2.

Распределение фирм по объёму инвестиций в проекты представлено в таблице:

Объём инвестиций, x_i, млн руб.	Количество фирм, f_i
0 – 4	8
4 – 8	12
8 – 12	16
12 – 16	10
16 – 20	4
Итого:	50

Определить:

1) средний объём инвестиций;

2) моду;

3) дисперсию;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) коэффициент вариации;

6) коэффициент асимметрии;

7) коэффициент эксцесса.

1). Средний объём инвестиций определяется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве значений x_i берём середины соответствующих интервалов:

2). Модальным интервалом является третий (8 – 12), так как у него наибольшая частота в сравнении с другими интервалами – 16. Находим значение точечной моды:

Mo =

Для дальнейших расчётов составим вспомогательную таблицу:

x_i	f_i	(x_i – )²∙ f_i	(x_i – )³∙ f_i	(x_i – )⁴∙ f_i
2	8	(2–9,2)²∙8=414,72	(2–9,2)³∙8=-2985,984	(2–9,2)⁴∙8=21499,0848
6	12	(6–9,2)²∙12=122,88	(6–9,2)³∙12=-393,216	(6–9,2)⁴∙12=1258,2912
10	16	(10–9,2)²∙16=10,24	(10–9,2)³∙16=8,192	(10–9,2)⁴∙16=6,5536
14	10	(14–9,2)²∙10=230,40	(14–9,2)³∙10=1105,920	(14–9,2)⁴∙10=5308,4160
18	4	(18–9,2)²∙4=309,76	(18–9,2)³∙4=2725,888	(18–9,2)⁴∙4=23987,8144
Итого:	50	1088	460,8	52060,16