Тема 8. Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств основано на том, что функция при a>1 является монотонно возрастающей, а при 0<a<1 – монотонно убывающей.

1. При переходе от простейших логарифмических неравенств к равносильным системам неравенств, не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений исходного неравенства.

Простейшие логарифмические неравенства:

1.                   2.

3.                   4.

Пример 1. Решите неравенство .

Решение. Находим область допустимых значений (ОДЗ): .

Неравенство  является простейшим логарифмическим неравенством, следовательно, имеет решение:

Находим пересечение полученного интервала с ОДЗ, получаем .

Пример 2. Найдите область определения функции .

Решение. Область определения функции удовлетворяет условию существования корня чётной степени и условию существования логарифма и определяется из системы:

2. Логарифмическое неравенство вида  эквивалентно совокупности двух систем неравенств:

или

Пример 3. Решите неравенство .

Решение. Находим ОДЗ из системы неравенств:

.

Представим данное неравенство в виде:

.

Так как основание логарифма , то знак неравенства не меняется:

.

Корни соответствующего квадратного уравнения  равны  и . Находим решение квадратного неравенства. Решением квадратного неравенства является интервал . С учётом ОДЗ получаем ответ .

Пример 4. Решите неравенство .

Решение. Область допустимых значений удовлетворяет условиям , . Для решения квадратного неравенства  находим корни квадратного уравнения . Определяем знаки квадратного трёхчлена . Решением квадратного неравенства является объединение интервалов . ОДЗ находим из системы неравенств:

Решение неравенства , т.е.  сводится к рассмотрению двух случаев.

1) Если 2x>1, т.е. , то . Решаем квадратное неравенство . Корни квадратного уравнения  равны  и . Определяем знаки функции . Решением квадратного неравенства является . Получаем:

.

2) Если 0 < 2x<1, т.е. , то . Решаем квадратное неравенство . Решением квадратного неравенства является объединение интервалов . Получаем: .

Объединяем первый и второй случаи . С учётом ОДЗ получаем .

Пример 5. Решите неравенство .

Решение. ОДЗ удовлетворяет условию , решаем соответствующее квадратное уравнение  и определяем знаки функции , ОДЗ: . При решении неравенства  используем основное логарифмическое тождество :

.

Решаем полученное неравенство методом интервалов:

.

Решением неравенства  является объединение интервалов . С учётом ОДЗ получаем .

Пример 6. Решите неравенство .

Решение. ОДЗ:

Приводим обе части неравенства к одному основанию :

.

Получаем , с помощью замены переменной  приводим данное неравенство к квадратному . Корни соответствующего квадратного уравнения  равны  и . Находим решение квадратного неравенства.

Решением квадратного неравенства является . Делаем обратную замену и получаем совокупность неравенств:

Таким образом, . С учётом ОДЗ решением неравенства является множество .

Ответ: .

Пример 7. Найдите все значения x, при которых точки графика функции  лежат ниже соответствующих точек графика функции .

Решение. Согласно условию задачи получаем неравенство:

Ответ: .

Задачи.

1. Решите неравенства:

1)                                                   2)

3)                                    4)

5)                                                6)

7)                                              8)

2. Решите неравенство

1)                    2)                    3) (-10;20)           4) (-10;20)

3. Решите неравенство

4. Наибольшее целое решение неравенства  равно

1) 1

5) 3

9) 6

2) -1

6) -3

10) -6

3) 2

7) 5

11) 0

4) -2

8) 4

12)-5

5. Решите неравенство .

6. Решите неравенство .

7. Решите неравенство .

8. Наибольшее целое решение неравенства равно

1) 9

5) 10

9) 18

2) 8

6) 14

10) 11

3) 6

7) 16

11) 20

4) 4

8) 12

12) 3

9. Число целых решений неравенства равно

1) 1

5) 5

2) 2

6) 6

3) 3

7) 7

4) 4

8) 0

10. Найдите число целых решений неравенства

11. Найдите сумму целых решений неравенства .

12. Найдите область определения функции .

13. Найдите область определения функции

14. Найдите область определения функции .

1)                        2)                      3)                        4)

15. Найдите область определения функции

16. Найдите область определения функции

17. Найдите область определения функции .

1)                     2)                           3)          4)

18. Найдите все значения x, при которых точки графика функции  лежат ниже соответствующих точек графика функции .