Исследование функции и построение ее графика

 

Алгоритм исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность:

- если f(-х)= f(х), то функция четная и ее график симметричен относительно оси у,

- если f(-х)= -f(х), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Найти критические (точки, в которых производная равна нулю или не существует) точки функции:

- найти производную функции,

- приравнять ее к нулю,

-решить полученное уравнение.

- корни уравнения и точки, в которых производная не существует – критические точки.

4. Найти промежутки монотонности функции:

- отметить на числовой прямой критические точки,

- определить знак производной на каждом промежутке:

           если f '(х) < 0, то функция убывает,

           если f '(х) > 0, то функция возрастает

5. Найти экстремумы функции:

- если в точке производная функции меняет свой знак с «-» на «+», то в этой точке min,

- если в точке производная функции меняет свой знак с «+» на «-», то в этой точке mах.

6. Найти значения функции в критических точках.

7. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции:

-если , то прямая у = b - горизонтальная асимптота.

 -если f(х)= при х = а знаменатель обращается в нуль, а числитель

отличен от нуля, то х = а – вертикальная асимптота.

8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

(с осью х, у = 0; с осью у, х = 0)

9. Найти дополнительные точки графика функции.

10. Построить график функции.

 

Пример. Исследовать функцию у = х³ – 3х² + 2 и построить ее график

1. Область определения функции – вся числовая прямая.

 

2. у(-х) = (-х)³ – 3(-х)² + 2 = -х³ – 3х² + 2, значит, функция является ни четной, ни нечетной и график ее не симметричен.

 

3. у '(х) = 3х²- 3·2х + 0 = 3х²- 6х

Производная существует везде, значит станционарных точек нет.

Найдем критические точки:

           3х²- 6х = 0

                             3х(х – 2) = 0

                             3х = 0; х – 2 = 0

                           х = 0, х = 2 – критические точки

                                                                               

4.     +             -           +            у '(х)

                         0                 2                  у(х)       

 

5. Точка х = 0 – точка mах, точка х = 2 – точка min.

 

6. у(0) = 0³ – 3·0² + 2 = 2, точка максимума(0;2)

у(2) = 2³ – 3·2² + 2 = 8 – 12 + 2 = -2, точка минимума (2;-2)

 

7. , значит, горизонтальных асимптот нет

вертикальных асимптот тоже нет.

 

8. С осью х, у = 0: х³ – 3х² + 2= 0

(х – 1)(х² -2х – 2) = 0

х – 1 = 0;          х² -2х – 2 = 0

х = 1             D = 12;    

                            х_1,2 =  =  = 1 ,

значит, график функции пересекает ось х точках (1;0); (1 -  ); (1 +  )

с осью у, х = 0: у = 2 значит, график функции пересекает ось у точке (0;2)

 

9. Дополнительные точки

х	-2	-1	1	3	4
у	-18	-2	0	2	18

10. Построение графика    у             у = х³ – 3х² + 2

 

                                                 Mах(0;2)

                                                      

 

                                          1 - 1 1 +             х

 

                                                          Min(2;-2)