Понятие о независимости событий

 

Мы живем в мире, где наряду с событиями непременно наступающими (например, смена времен года, восход и заход солнца, смена времен суток) происходят события, зависящие от случая. Случайно перегорела лампа, случайно произошло замыкание, случайно выиграл лотерейный билет, случайно сборная России по футболу стала участником финала чемпионата мира, случайно сегодня на уроке математики присутствует комиссия в данном составе директоров школ района.

Все это события, которые заранее предсказать невозможно.

Событие, которое в процессе наблюдения или испытания (эксперимента) может произойти или не произойти, называют случайным событием.

Приведем еще примеры случайных событий: поражение мишени или промах в результате произведенного выстрела, выигрыш или проигрыш команды в матче, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты, выпадение четного числа очков при подбрасывании игральной кости.

Пусть определенное испытание повторяется много кратно и каждый раз фиксируется произошло или нет интересующее нас событие А. Обозначим через N(А) – число исходов испытания при которых произошло событие А. Общее число всех испытаний обозначим через

N. Тогда отношение N(А)/N называют статистической частотой случайного события.

Статистика показывает, что при проведении одного и того же опыта, допускающего многократные повторения в одних и тех же условиях, частота появления ожидаемого случайного события остается примерно одинаковой, незначительно отличаясь от некоторого постоянного числа.

Рассмотрим такой пример. Бросают монету. Она может упасть кверху орлом или решкой.

 

Фамилия	Количество бросков	Частота выпадений орла
Бюффон	4040	0,507
Де Морган	4092	0,5005
Джевонс	20480	0,5068
Романовский	80640	0,4923
Пирсон	24000	0,5005
Феллер	10000	0,4979

 

Из таблицы видно, что частота события «выпадения орла» близко к 0,5.

Рассмотрим другой пример.

Приведем данные о рождении девочек за 1935 год в Швеции. По данным статистики частота рождения девочек, т.е. отношение числа родившихся девочек к числу родившихся детей характеризуется

следующей таблицей.

 

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Частота	0,486	0,489	0.490	0.471	0.478	0.482	0.462	0.484	0.495	0.491	0.482	0.473

 

Несмотря на то, что общее число родившихся в течение года меняется, частота колеблется около среднего значения 0,482.

Подобные закономерности позволяют подойти к статистическому определению вероятности.

Если в длинной серии экспериментов со случайными исходами, которые могут быть многократно проверены в одинаковых условиях, значения частот близки к некоторому постоянному числу, то это число принимают за статистическую вероятность данного события.

Итак, для того, чтобы найти частоту или статистическую вероятность наступления какого-нибудь случайного события, необходимо осуществить достаточно большое число испытаний и лишь после этого можно определить приближенную вероятность наступления данного события. В то же время, если все исходы равновозможны, то вероятность наступления случайного события можно определить с помощью здравого смысла, опираясь на логические рассуждения.

Вернемся к испытаниям с монетой. Если монета правильная, то нет оснований считать, что исходы не равновозможны. Аналогично и с игральным кубиком. Если он сделан из однородного материала, то все исходы равновозможны, т.е. множество {1, 2, 3,4,5,6} – множество равновозможных исходов опыта при бросании кубика.

Пусть при бросании кубика событие А означает, что выпадает четное число очков. Тогда событие А произойдет, если выпадет 2,4 или 6 – т.е. 3 исхода благоприятны для события А, всего же исходов – 6. Тогда отношение 3/6 – и есть вероятность наступления события А.

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.

Это определение называется классическим определением вероятности.

Сопоставляя классическое и статистическое определение вероятности, можно сделать вывод: нахождение классической вероятности не требует проведения испытаний в действительности, а нахождение статистической вероятности предполагает, чтобы испытания проводились фактически.

Поговорим немного о несовместных событиях. Так называются 2 события, которые не могут наступить одновременно. Если события А и В могут наступать одновременно то их называют совместными. В этом случае для нахождения вероятности Р (А+В) нужна не только сама сумма событий, но и их произведение.

Определение: Произведением событий А и В называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и А и В. Оно обозначается А В.

Теорема: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)- Р(А)Р(В)

     Рассмотрим следующий пример. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:

а) А- «цена товара больше 100 р.», В – «цена не больше 110 рублей»

АВ -?

б) А – «завтра суббота», В – «завтра 15 число»

в) А – «случайно выбранное двузначное число четно», В – «случайно выбранное двузначное число кратно 15».

Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств соответствующих событиям А и В.

Определение: Если Р(АВ) = Р(А) Р (В), то А и В – независимы.

Дать точное определение независимости двух событий по видимому невозможно. Мы ограничимся тем, что события А и В назовем независимыми, если Р(А) и Р(В) не зависят от наступления или не наступления второго события.

Приведем следующий пример, из которого становится ясно, что такое независимые или зависимые события. В урне 6 жетонов с номерами от 1 до 6 включительно. Из урны вынимают 1 жетон. Обозначим через А событие, которое означает, что из урны извлечен жетон с номером, кратным 2. После этого жетон возвращают в урну. Затем из урны вынимают снова жетон.

Пусть В – событие, означающее, что из урны извлекли жетон с номером кратным 3. Какова вероятность наступления события А и события В при этом испытании?

Для А благоприятны следующие исходы: 2, 4, 6. а для В – 3,6.

Р(А) = 3/6 = 1/2, Р(В) = 2/6 = 1/3.

Событие В не зависит от события А, т.к. вероятность повторного извлечения жетона не влияет на то, какой жетон был вынут первый раз (он был возвращен в урну)

Если же после первого извлечения жетона из урны его не возвратят в урну, вероятность повторного извлечения жетона (событие В) будет иной, т.к. в урне уже не 6 жетонов, а 5. Если в первый раз извлечен жетон, кратный 3, то Р(В) = 1/5, если нет – то Р(В) = 2/5.

В этом случае Р(В) зависит от события А, т.е. А и В зависимы.

Пример. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3 – вероятности попадания соответственно первого и второго стрелка. Найти вероятность того, что мишень будет поражена: \а) дважды; б) ровно 1 раз.

а) А и В независимы. Мишень будет поражена дважды, если одновременно произойдут события А и В, т.е. АВ.

Р (АВ) = Р(А) Р(В)= 0.27

б) мишень будет поражена 1 раз, если произошло событие А+В, но не произошло событие АВ, т.е. Р(А+В) - Р(АВ) =Р(А)+Р(В) – 2 Р(АВ)=0.9 + 0,3 – 2 0,9 0,3 = 0,66

 

Решение типичных упражнений.

Начнем с более простой задачи.

1. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной и больше 3?

Второе задание немного сложнее.

2. Конференция по обмену опытом организации школьных музеев проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов. Первые 2 дня – по 12 докладов, остальные – поровну распределены на 3 и 4 дни. Какова вероятность того, что докладчик из Куринской школы выступить в последний день?.

3. Вероятность того, что комиссия «1» оценит урок математики положительно равно 0,7, а вероятность положительной оценки урока географии комиссией «2» составляет 0,6. Какова вероятность, что обе комиссии оценят положительно эти уроки?

 

Решим более сложную задачу.

4. В урне 5 белых и 6 черных шаров. Случайным образом достают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них не менее двух белых шаров?

 

 

  Решение № 1. – Всего имеется 10 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют исходы, означающие нажатие на 4,6,или 8, т.е. 3 исхода. Тогда Р = 3/10=0,3.

 

Решение № 2. - Число докладов в последний день равно (40-2х12):2=8, Значит, число благоприятных исходов - 8. Всего исходов-40, значит Р=8/40, а это равно 0,2.

 

Решение № 3. Событие А: «Комиссия «1» оценила урок математики положительно».

Событие В: «Комиссия «2» оценила урок географии положительно».

Необходимо найти Р(АВ). Так как А и В – события независимые, то Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,7 х 0,6=0,42

 

Решение № 4. Пусть А- событие, означающее, что белых шаров 2, а черных – 1.В- событие означающее, что все 3 шара белые.

N(А)= ·6=60; N(В)= =10

N =  = 165

Т.к. А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=60/165+10/165=14/33