Задания для практической работы

Практическая работа

«Решение рациональных уравнений и неравенств»

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ. Это рациональное неравенство решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой «жирными» точками нули числителя (–1; 3 и 7) и «прозрачными» – нули знаменателя (–4 и 2). Если бы заданное неравенство было строгим, нужно было бы все нули сделать «прозрачными». Эти точки разобьют числовую прямую на 6 интервалов:

Выясним знак данной дроби на каждом из этих интервалов, используя пробные числа, принадлежащие интервалам.

Можно поступать иначе. Для этого в выражении в каждом из множителей переменная х должна иметь знак «+» ((х – 2), а не (2 – х); (х – 7), а не (7 – х)). Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на –1 и меняя одновременно его знак столько раз, сколько надо. Отметив нули выражения на числовой оси, справа налево расставим знаки по следующему правилу: сначала «+», меняем знак на нечетной степени и сохраняем его на четной.

Теперь остается выписать ответ – промежутки, на которых поставлен знак «+», так как знак данного неравенства . Важно не забыть х = 3.

ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 2. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ. Это квадратное неравенство можно решить методом интервалов, но проще – графически. Рассмотрим функцию, заданную уравнением . Графиком ее является парабола.

Заметим, что для нас совершенно не важны точные характеристики параболы (где находится ось, пересечение с Оу и т. п.) Достаточно знать, что ее ветви направлены вверх (а > 0) и что она пересекает ось Ох в двух точках, являющихся корнями уравнения .