Геометрическое определение вероятности

Практическое занятие № 3

Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда число исходов опыта бесконечно.

Пусть каждому исходу опыта поставлена в соответствие точка плоскости . Тогда множеству всех исходов опыта соответствует область плоскости , а множеству исходов, благоприятствующих появлению события , соответствует область плоскости . Будем считать, что все исходы опыта равновозможны, несовместны и образуют полную группу.

Тогда вероятность события вычисляется по формуле: , где - площадь области ;

- площадь области .

Задача 1. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы.

Какова вероятность того, что их сумма не превосходит единицы, а их произведение не больше ?

Обозначим: первое число ,

второе число .

Событие - сумма не превосходит единицы, а произведение не больше .

Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)

Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: .

Число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:

Площадь области (см. рисунок) равна:

Тогда вероятность события равна:

Задача 2. Наугад взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух.

Найти вероятность того, что произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

Событие - произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)

Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: .

Число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:

(2)

Область , описываемая системой неравенств (2), представляет собой криволинейную трапецию, ограниченный линиями (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: равна:

Тогда вероятность события равна:

Задача 3. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и .

Найти вероятность того, из трех получившихся отрезков можно построить треугольник.

Событие - из трех отрезков можно построить треугольник.

Обозначим: длину первого отрезка ,

длину второго отрезка ,

длину третьего отрезка .

Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)

Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой треугольник, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: .

Теорема. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Тогда число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:

(2)

Область , описываемая системой неравенств (2), представляет собой треугольник, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: равна: .

Тогда вероятность события равна:

Задача 4. Два студента договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго 20 минут , после чего уходит.

Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в указанном промежутке.

Событие - студенты встретятся.

Пусть и - моменты прихода студентов на встречу.

Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)

Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: .

Число исходов, благоприятствующих событию (студенты встретятся), описывается неравенствами:

1) если студент приходит первым и ждет студента 20 минут , то ;

2) если студент приходит первым и ждет студента 20 минут , то .

Площадь области (см. рисунок) равна: .

Тогда вероятность события равна: .

Задача 5. Автобусы маршрутов и прибывают на остановку в случайные моменты времени на каждом десятиминутном интервале. Стоянка автобуса - одна минута, автобуса - полторы минуты.

Найти вероятность встречи автобусов на этой остановке, если моменты прихода каждого из них независимы и равновозможны в течение указанного времени.

Событие - автобусы встретятся на остановке.

Пусть и - моменты прихода автобусов и на остановку.

Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)

Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).

Следовательно, площадь области равна: .

Число исходов, благоприятствующих событию , описывается неравенствами:

1) если автобус приходит первым и стоит одну минуту, то ;

2) если автобус приходит первым и стоит полторы минуты, то .

Площадь области (см. рисунок) равна:

Тогда вероятность события равна: .

Статистическое определение вероятности

Классическое и геометрическое определения вероятности основаны на предположении, что все исходы опыта равновозможны. На практике доказать или опровергнуть это предположение затруднительно.

Тогда применяют статистическое определение вероятности, где в качестве вероятности события принимают его относительную частоту или частость.

Пусть опыт проводится раз при одинаковых условиях, и пусть в этом опыте событие наступило раз. Тогда отношение числа опытов , в которых наступило событие , к общему числу опытов называется частостью события или относительной частотой события :

В другой серии опытов частость события может иметь другое значение. Но при увеличении числа опытов частость события стабилизируется и обладает статистической устойчивостью. В силу этого частость события приближенно принимают равной вероятности события в единичном опыте: