Физический смысл производной

Если функцией является перемещение тела, то производная от этой функции – скорость
Если функцией является скорость, то производная от этой функции – ускорение

Пример: Материальная точка движется по закону . Найти мгновенную скорость в момент

Скорость v – производная от перемещения s: . При t=5

Связь графиков функции и производной

Производная	Функция	Касательная к графику функции
Положительна	Возрастает	Наклонена вправо (острый угол с осью Х)
Отрицательна	Убывает	Наклонена влево (тупой угол с осью Х)
Равна нулю (с вариантами)	Стационарная точка	Горизонтальна (параллельна оси Х)
=0, меняет знак с минуса на плюс	Минимум (экстремум)
=0, меняет знак с плюса на минус	Максимум (экстремум)
=0, но знак не меняет	Точка перегиба
На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку[-6; 9].
1) Выделяем нужный отрезок (если он задан) 2) В точках, где производная равна 0, проводим вертикальные линии 3) Схематически (стрелками) рисуем функцию: там, где производная положительна, возрастающую, а где отрицательна – убывающую 4) СМОТРИМ ТОЛЬКО НА ЭТИ СТРЕЛКИ и отвечаем на вопрос На отмеченном отрезке [-6; 9] максимум у функции один – в точке 7. Ответ: 1

Если дан график функции, а спрашивают про производную

На рисунке изображен график функции

, определенной на интервале (-6; 8). Найти количество целых точек, где производная положительна

1) Выделяем нужный отрезок (если он задан) 2) В точках, где функция имеет максимумы или минимумы, проводим вертикальные линии 3) Схематически рисуем производную: там, где функция возрастает – положительная волна, а где убывает – отрицательная 4) СМОТРИМ ТОЛЬКО НА ЭТИ ВОЛНЫ и отвечаем на вопрос Производная положительна в точках -2, -1, 5, 6. То есть всего 4 точки. Ответ: 4