Решение задач с применением теорем сложения и умножения

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Р е ш е н и е. Теорема сложения вероятностей несовместных случайных событий. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А+В) = Р(А) + Р(В); Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А)

Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность

P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.

2. Найти вероятность того, что наудачу взятое число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение: Теорема сложения вероятностей совместных событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Так как А и В совместные события, то воспользуемся теоремой Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11,...,98,99. Число всех исходов испытания равно 90

Число исходов, благоприятных появлению события А равно 30 являются кратными 3

Число исходов, благоприятных появлению события В равно 18 – кратными 5

Число исходов, благоприятных появлению события АВ равно 6 – кратными одновременно и 3 и 5

Р(А) = 30/90 = 1/3;   Р(В) = 18/90 = 1/5;       Р(АВ) = 6/90 = 1/15.

Р(А+В) = 1/3 + 1/5 – 1/15 = 7/15 = 0,467.

3. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение: Теорема умножения вероятностей зависимых случайных событий. Р(АВ)=Р(А)Р_A(B

Введем следующие обозначения:

A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная.

Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3.

Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий: P(AB)=P(A)• (B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424

4. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие - появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

где событие - появление белого шара при первом вынимании, - появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

Ответ.

 

Домашнее задание 

 

Решить задчи:

 

1.В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым? Ответ:                       

2.В лотерее из 800 билетов имеются 100 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что вынутый билет выигрышный.

3.Из урны, в которой находятся 6 белых и 4 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

4. Имеется 200 одинаковых деталей, среди которых 20 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь без брака.

5. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 3 с мясом, 6 с капустой и 2 с картошкой. Ваня наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с картошкой.

Итог урока: Что мы повторили и закрепили на уроке?

Как читается теорема сложения вероятностей несовместных событий?

Как читается теорема сложения вероятностей совместных событий?

Как читается теорема умножения вероятностей зависимых случайных событий?

Как читается теорема умножения вероятностей независимых случайных событий?

Какая все-таки удивительная наука, и прав был Ломоносов, утверждая: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

 Составьте синквейн на тему «ТВ»!

Синквейн
1	одно слово – существительное	«Теория вероятности»
2	два прилагательных	Новая, интересная.
3	три глагола,	Изучим, поймем, заинтересуемся
4	фраза, предложение, состоящая из 4-х слов	Присутствует во всех областях
5	одно слово-резюме(или синоним), которое выражает личное отношение к теме	Инструмент познания

Рефлексия    

Заполнить карточку

Считаете ли вы, что данный урок эффективен? С каким настроением вы уходите с урока? Довольны ли вы своей работой на уроке?

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

 

1.На уроке я работал 2.Своей работой на уроке я 3.Урок для меня показался 4.За урок я 5.Мое настроение 6.Материал урока мне был

активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным не устал / устал стало лучше / стало хуже понятен / не понятен полезен / бесполезен интересен / скучен