Вычисление объемов тел

                                                    

      Пусть в пространстве задано некоторое тело, причем при  известна площадь S=S(x) сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ и проходящей через эту точку. Требуется определить объем тела.

Будем исходить из того, что объем прямого цилиндра нам известен и равен произведению площади основания на высоту.

Разобьем [ a;b ] точками a=x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n=b, обозначим∆ x_i=x_i - x_i-1, .

На каждом участке [ x_i-1; x_i ] выберем точку x_i и проведем плоскость х = x_i.

В сечении тела этой плоскостью получится некоторая фигура D.

Построим цилиндр, образующие которого параллельны оси ОХ, а направляющей является граница фигуры D.

Рассмотрим участок этого цилиндра, заключенный между плоскостями
х = x_i-1 и х = x_i.

Объем полученного цилиндра равен а сумма объемов всех таких цилиндров равна  Истинное значение объема тела равно

Если учитывать определение определенного интеграла, то

Частный случай: если тело образовано вращением кривой y=f(x) вокруг оси ОХ, то  тогда

Вычисление длины дуги кривой.

Задача: АВ задана уравнением y=f(x). Найти длину дуги кривой АВ.

Рисунок 6.1.3

 

Разобьем дугу АВ произвольно на n частей: a=x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n=b. Построим вписанную ломанную, длина которой равна:

 
где ∆ x_i=x_i - x_i-1, ∆ y_i=f (x_i) - f (x_i-1).

По формуле Лагранжа  где x_i Î[ x_i-1; x_i ], поэтому длина ломаной равна:

Назовем длиной дуги кривой предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и стремлении наибольшей из этих сторон к 0:

 где

Или (внося dx под знак корня):

       

Частные случаи:

а) Уравнение линии задано параметрически: , где  тогда:

             

б) Уравнение линии в полярных координатах: , тогда

        

(т.к.

  
    

Пример 6.22

  Найти длину дуги астроиды: , 0£ t £ 2p.