Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

Лекция 23

 Приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых
 координатах

1. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах.
2. Вычисление объемов тел.
3. Вычисление длины дуги.

Применение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла как площади криволинейной трапеции, ограничено отрезком [ a;b ], прямыми x=a, x=b и кривой y=f(x) ³0.

Другими словами, в декартовой системе координат за основную фигуру, площадь которой выражается одним интегралом, принимается криволинейная трапеция.

а)                           

б)                         

в) Если f₁(x)³ f₂(x) на [ a;b ], то
                                                                                S=S₁ – S₂.

                                                                     

г)            Если фигура АВСВ₁ не является криволинейной трапецией, то представляют ее как сумму криволинейных трапеций:

Пример 6.20
1) С помощью определенного интеграла вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

1) , , , ;

2) , ;

3) одной аркой циклоиды ;

4) лемнискатой Бернулли .

Решение

1) Построим фигуру, площадь которой необходимо найти (чертеж 1). Фигура  является криволинейной трапецией, прилежащей к оси , ограниченной «сверху» графиком функции , «снизу» - отрезком  оси , на который проецируется данная фигура.

Искомую площадь найдем по формуле

 

где , , .

 (ед.²).

Чертеж 1

2) Построим фигуру, площадь которой необходимо найти. Напомним, что и , и  являются уравнениями парабол (чертеж 2). Точки пересечения парабол найдем, решив систему:

(-1;0), .

Чертеж 2

Чертеж 3

Нам необходимо вычислить площадь фигуры , которая не является криволинейной трапецией, но её площадь может быть составлена из площадей криволинейных трапеций  и , прилежащих к оси . Криволинейная трапеция  ограничена «сверху» параболой  «снизу» - отрезком  оси , а криволинейная трапеция  - параболой  и отрезком .

Тогда искомая площадь равна

= =  (ед.²).

3) В этом случае кривая (циклоида) задана параметрическими уравнениями . Для построения циклоиды (чертеж 3) воспользуемся Приложением Б. Точкам ,  и  соответствуют значения параметра ,  и .

Данная фигура является криволинейной трапецией, прилежащей к оси , ограничена параллельными прямыми  и  (каждая из прямых вырождается в точку), «сверху» ограничена графиком циклоиды, «снизу» – отрезком  оси , поэтому, согласно формуле вычисления площади фигуры при параметрическом задании кривой, имеем

 (ед.²).

             

Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах: r=f(j). Рассмотрим криволинейный сектор, ограниченный лучами j=a, j=b и кривой r=f(j).

Определим площадь этого сектора.

Разобьем сектор произвольным образом на n частей лучами a=j₀< j₁<…< j_n=b; ∆ j_i=j_i -j_i-1. Заменим каждый частичный криволинейный сектор круговым. Для этого выберем на каждом участке [ j_i-1; j_i ] точку q_i и между лучами j=j_i-1 и j=j_i   построим круговой сектор радиуса f(q_i).

Площадь кругового сектора равна а сумма всех таких секторов равна

Обозначим

Предел этой суммы при условии, что наибольший из углов l ®0, и дает искомую площадь криволинейного сектора:

Но, с другой стороны, этот предел, согласно определению определенного интеграла, дает      поэтому получим формулу:

                                 

Пример 6.21

Кривая  (лемниската Бернулли) задана в полярной системе координат. Для ее построения воспользуемся Приложением Б (чертеж 4).

Чертеж 4

В силу симметричности искомая площадь равна учетверенной площади криволинейного сектора .

Дуга  описывается концом полярного радиуса  при изменении полярного угла  от 0 до  (для значений  функция  не определена). Поэтому, согласно формуле вычисления площади криволинейного сектора, имеем

= (ед.²).

  (ед.²).