Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Урок 104-105

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Группа: 4 дата 28.04.20

 Цели урока:

Образовательная – проверить степень усвоения студентами материала прошлого урока, вывести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, формировать умения решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Развивающая – развивать познавательный интерес студентов к дисциплине, умение исследовать, выделять главное, сравнивать, анализировать, делать выводы.

Воспитательная – воспитывать умения планировать свою деятельность; бережно относиться к материальным ценностям; содержать в порядке рабочее место. Формировать опыт совместной деятельности, умение соблюдать элементарные правила и нормы устанавливаемой дисциплины и культуры общения.

 

Тип урока: комбинированный.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый.

Внутрипредметные связи: с темами: «Свойства непрерывных функций», «Исследование функции с помощью производной».

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков.

 

Виды контроля знаний и умений: предварительный, текущий, тематический.

 

В ходе учебного занятия студенты должны:

Знать: - понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; - алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; - применение экстремумов к решению прикладных задач.

Уметь: - находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке по графику; - находить наибольшее и наименьшее значение функции аналитически используя алгоритм; - решать задачи на максимум и минимум функции.

 

Структура учебного занятия:

 

1. Организационный момент: Проверка посещаемости и выполнения домашней работы (2мин.).

2. Повторение пройденного материала и проверка домашнего задания: (10 мин.)

• устный счет (фронтально);
• практических заданий из домашней работы у доски;
• тестирование на компьютере.

3. Постановка учебной задачи - сообщение темы, целей и задач урока. (3 мин.)

4. Изучение нового материала -(10 мин.)

5. Первичное закрепление – обобщение и систематизация знаний (ответы на вопросы) (2 мин.)

6. Тренировочные упражнения (15 мин.)

7. Задания на дом- (1 мин.)

8. Подведение итогов занятия, выводы (2 мин.).

Конспект урока

1. Организационный момент: Дежурный объявляет список отсутствующих на уроке студентов, преподаватель отмечает в учебном журнале.

2. Повторение пройденного материала и проверка домашнего задания:

Начинаем с проверки домашнего задания: «Исследовать функцию и построить ее график». На доске студент строит график функции.

В это время несколько студентов группы вызываются на компьютерное тестирование по разделу: Производная. Время ограничивается до 7 мин.

Тест для проверки и систематизации знаний по разделу: Производная. (Правильные ответы выделены жирным шрифтом)

 

№1 Найдите производную функции

1. ; б) в) ; г) другой ответ.

 

№2 Найдите , если

; б) ; в) 18 ; г) другой ответ.

 

№3 Выберите функцию, производная которой .

; б) в) ; г) другой ответ.

 

№4 Выберите функцию, у которой не существует производной в точке 1.

; б) в) ; г) .

 

№5 Найдите промежутки непрерывности функции .

; б) ; в) ; г) другой ответ.

 

№6 Найдите область определения функции .

; б) ; в) ; г) другой ответ.

№7 Найдите промежутки возрастания функции

; б) ; в) ; г ) .

 

№8 Найдите значение функции

; б) ; в)-3; г)3.

 

№9 Сколько корней имеет уравнение

; б) ; в) два; г) один.

 

№10 Найдите наименьший положительный период функции

.

; б) ; в) ; г) .

 

Параллельно с оставшимися студентами группы ведется работа на устный счет (фронтально).

Задания для устного счета. Найдите производные:

 

 

 

 

 

 

 

3. Постановка учебной задачи:

По истечении времени (10 мин) начинаем работу с графиком функции
из домашнего задания, который студент построил на доске. График также демонстрируется на слайде.

График этой функции выглядит так:

 

Далее идет работа с графиком.

 

1) Рассмотрим функцию на отрезке Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке.

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка:, а наименьшее – в левом:.

2) Рассмотрим функцию на отрезке Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке.

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимум и в правом конце отрезка, а наименьшее в точке минимум.

3) Преподаватель задает вопрос: Всегда ли максимум функции совпадает с её наибольшим значением?

Студенты: если определить наибольшее и наименьшее значение функции на разных отрезках области определения, то можно обнаружить, что в некоторых случаях максимум совпадает с наибольшим значением функции, а минимум – с наименьшим значением функции, а в некоторых не совпадает.

Если студенты не догадываются, то преподаватель предлагает сравнить значение функции в точке максимума и в других точках. Таким образом, в процессе работы студенты приходят к выводу, что максимум и наибольшее значение- это разные понятия. Аналогично сравниваются понятия минимума и наименьшего значения.

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции.

Преподаватель задает вопрос: как, не изображая графика функции, определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Студенты формулируют алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения, который в процессе работы уточняется преподавателем и самими студентами. Далее алгоритм запишем в ходе изучения темы урока.

 

4. Изучение нового материала:

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке.

По теореме Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Эти значения функция может принимать либо во внутренней точке, либо на границе отрезка, т.е при = или =.

Если, то точку следует искать среди критических точек данной функции (точек, где производная равна нулю или не существует) (см. рис.1).

Рис.1

Правило нахождения наибольшего и наименьшего

значений функции на

1. Найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку.
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка, т.е. в точках
3. Сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Замечание 1. Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

На рисунке 1 = f_наиб = f_max (наиб – наибольшее, max - максимальное).

Замечание 2. Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.

Замечание 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

 

Например, на рисунке 2, а, где Т- наименьший положительный период функции, а.

Рис. 2

 

5. Первичное закрепление: демонстрация примеров на слайдах.