Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение: находим критические точки данной функции:;

Находим 1,. Итак_,

Ответ: _,

 

Пример 2. Найти множество значений функции.

Решение: Эта функция является непрерывной и периодической на всей числовой прямой, поэтому из Замечания 3 следует, что множество ее значений есть

У= [,] или У =.

а) Найдем точки экстремума. Для этого найдем производную функции: =. Приравняем полученную производную к нулю: или или. То есть получим следующие точки возможного экстремума:

;;;.

б) Найдем значение функции в полученных точках и выберем из них самое большое и самое маленькое значение.

;;

;

.

Следовательно =; = -3.

Ответ:.

 

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении практических задач.

Пример 3. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение: Обозначим через высоту и диаметр цилиндра. Тогда как видно, т.к. объем цилиндра, тогда получим:, где. Найдем наибольшее значение функции на отрезке с помощью производной.

, то при, кроме того, Поэтому – точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный) при; диаметр основания цилиндра равен. Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную.

Ответ: Высота цилиндра равна.

 

Пример 4. На какой высоте h надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса a, чтобы площадка была максимально освещена у её границы?

Решение: Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормалью к поверхности с направлением светового потока), т.е.,

где от силы источника света, помещенного в точке А (рис 4).

Рис.4

 

Из треугольника ОАВ имеем и. Приняв за независимую переменную, получим:

Исследуем функцию на экстремум с помощью производной:

 

Так как в промежутке

и в промежутке, то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.

Ответ:.

6. Тренировочные упражнения:

в классе:

№1 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№2 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№3 Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Ответ:

 

№4 Из квадратного листа картона со стороной вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

Ответ:.

7. Задания на дом:

дома:

№5Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№6 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№7 Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определите размеры прямоугольной площадки.

Ответ:

№8 Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

Ответ: 5 и 5.

№9* Найти наименьшее расстояние от начала координат до точек графика функции, соответствующих абсциссам.

Ответ: 2.

д/з§52 разобрать задачи1-3 стр.278-279№938 (1,2),939(1,2 учебник Алимов Ш.А.и др 11 класс Алгебра и начало математического анализа