Уравнение пряиой в пространстве

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

Урок ЛЕКЦИЯ Уравнения сферы и уравнение прямой.

Цели: изучить уравнения сферы и прямой; научиться решать простейшие задачи по теме.

Повторить

Контрольные вопросы:

1. Формулу расстояния между точками.

2. Формулу координат середины отрезка.

Изучение нового

Уравнение сферы

Сферой в пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М₀(х₀;у₀;z₀) – центра сферы.

Сфера- это поверхность. Например, поверхность резинного шара, поверхность нашей Земли, поверхность (корка) арбуза.

У сферы есть центр. И все точки поверхности сферы находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.

Пусть М(х;у;z) – некоторая точка сферы. Расстояние от точки М до центра М₀ постоянно и равно радиусу сферы, т.е. или длине вектора, соединяющего точки М и точку М_0.

Длина (M₀M)=const=R.

Длина вектора находится по формуле

Возведем в квадрат

R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²– это уравнение сферы.

Пример 1:

Запишем уравнение сферы с центром Р(0; 0; 0) и радиусом R = 2, Уравнение сферы: х² + у² + z² = 4.

Пример 2:

Запишем уравнение сферы с центром Р(-2; 3; -1) и радиусом R = 3.

Уравнение сферы: (х + 2)² + (у - 3)² + (z + 1)² = 9.

Задание

1) Составить уравнение сферы с центром в точке М(-3; 1; -2) и радиусом равным 5.

Уравнение пряиой в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана 3 способами:

1) как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:

A ₁x + B ₁y + C ₁z + D ₁ = 0,

A ₂x + B ₂y + C ₂z + D ₂ = 0

Каждое уравнение- это уравнение плоскости. Две плоскости пересекаются по прямой.

2) двумя своими точками M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂).

Через две точки всегда можно построить прямую, и при том только одну.

Прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

3 )точкой M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), коллинеарным данной прямой (он может лежать на прямой, может быть ей коллинеарен). Вектор a называется направляющим вектором прямой.

. Тогда прямая определяется уравнениями: