Достаточное условие возрастания функции
Достаточное условие убывания функции.
Экстремумы
Схема исследования функции.
Примеры
Достаточное условие возрастания функции
Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции.
Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.
Определение:
x0 называется критической точкой функции f(x), если
1) x0 – внутренняя точка области определения f(x);
2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.
Необходимое условие экстремума:
Если x0– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.
Достаточное условие экстремума:
Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции f(x).
Примеры экстремумов:
Схема исследования функции.
1. Найти область определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
|
|
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].
1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b);
2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b);
3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры.
1. Найти промежутки убывания и возрастания функции
Решение:
4)
(для определения знаков производной использовали метод интервалов)
Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.
2. Исследовать функцию f(x)=x3-3x2+4 с помощью производной и построить ее график.
Решение:
4)
x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.
5) f(0)=4; f(2)=0
Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x3-3x2+4
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение:
3) Из чисел и 4 наибольшее , наименьшее 4.
Ответ:
4.Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20см, имеющего наименьшую диагональ.
Решение:
Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d - его диагональ. Тогда a+b=10. По теореме Пифагора d2=a2+b2. По условию задачи a>0,b>0. b=10-a>0, значит 0 < a < 10.
d2=a2+(10-a)2=2a2-20a+100, 0< a < 10.
Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения а, при котором функция d(a)=2a2-20a+100 принимает наименьшее значение на интервале 0 < a <10.
|
|
Найдем производную d'(a)=4a-20.
Критическая точка .
a=5 точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функция d(a) на интервале (0;10) принимает в точке a=5. При этом b=5.
Ответ: 5см, 5см.
Вопросы для самоконтроля:
Что такое экстремум?
Что такое критическая точка?