Свойства определенного интеграла

РАЗДЕЛ 8. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

ТЕМА: Вычисление определенного интеграла

Цель занятия: научиться вычислять определенный интеграл, используя свойства.

Порядок выполнения работы:

1) Повторить теоретический материал;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Определенный интеграл

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

 

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее  называют основной формулой интегрального исчисления.

 

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций (свойство линейности):
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:  

 

 

Рассмотрим примеры.

 

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице (см. Приложение) с помощью самой популярной формулы

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

Сначала подставляем в  верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

 

(1) Используем свойство линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница и

рассчитываем.

Следует заметить, что рассмотренный способ решения – не единственный, и даже при небольшом опыте его можно значительно сократить. Примерно так:

Здесь устно используем правила линейности, устно интегрируем по таблице и в результате получаем всего лишь одну скобку с отчёркиванием пределов. Далее в «цельную» первообразную функцию, сначала подставляем 4, затем –2. Какие достоинства у «короткого» способа решения? Быстрота и компактность записи. А недостатки? Повышенный риск допустить ошибку.

Здесь при решении воспользуемся свойством (4): определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю. Исходя из этого свойства делаем вывод, что необязательно высчитывать первообразную, а можно сразу записать ответ.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Найти значение определенных интегралов:

1) 2) 3)    4) 5)

Задание 2. Вычислить определенный интеграл двумя способами (коротко и подробно):

1)

2)  

ПРИЛОЖЕНИЕ