Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Конспект урока математики  

 Дата

89	90	91	92	3	4
6.05.20 7.05.20

Группа № 89 профессия мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей курс 1

Группа №90 профессия повар, кондитер курс1

Группа №91 профессия машинист крана(крановщик)

Группа №92 профессия тракторист-машинист сельскохозяйственного производства

Группа №3 специальность механизация сельского хозяйства

Группа № 4 специальность Техническая эксплуатация подъемно-транспотных, строительных дорожных машин и оборудования (по отраслям)

Тема урока: «Производная»

Форма работы: индивидуальная, электронное обучение.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: Сформулировать понятие производной функции;сформировать умение применять определение производной функции для вывода производных различных функций.

Ключевые слова: производная, приращение аргумента, приращение функции, средняя скорость.

  Изучаемая литература: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа.

 10-11 классы: учеб.для общеобразоват.организаций: базовый и углубл.уровени./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение, 2018г

 Интернет- ресурсы: Математика в открытом колледже http://www.mathematics.ru

                                                   Ход занятия:

Организационный этап. Мотивационный модуль

Ребята, сегодня, вы познакомитесь с темой «Производная функции», рассмотрите понятие производной,задания по данной теме.

Основная часть. Объясняющий модуль.

План изучения: 1) Определение производной;

                            2) Физический смысл производной;

                       3) Приращение функции;

                             4) Скорость материальной точки в заданный момент времени

                           по данному закону движения.

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Необходимо запомнить

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит,

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). (1)

Необходимо запомнить.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0, если f(x)= x², x₀=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x₁−x₀=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,9²-2²=-0,39                    Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2. Найдем приращение Δf функции в точке x₀, если приращение аргумента равно x₀.

Решение: по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀; t₀+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t₀+∆t; t₀]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х₀ и х₀+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

Обозначение:   или  (х)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Это важно! Схема вычисления производной функции.

1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

2. Разделить приращение функции на приращение аргумента:

 

3.Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 3.

Вычислить производную функции y=x²

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²
2. 
3.               Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 4.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.      Ответ: _.