double arrow

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

1

Конспект урока математики  

 Дата

89 90 91 92 3 4
6.05.20 7.05.20          

Группа № 89 профессия мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей курс 1

Группа №90 профессия повар, кондитер курс1

Группа №91 профессия машинист крана(крановщик)

Группа №92 профессия тракторист-машинист сельскохозяйственного производства

Группа №3 специальность механизация сельского хозяйства

Группа № 4 специальность Техническая эксплуатация подъемно-транспотных , строительных дорожных машин и оборудования ( по отраслям)

Тема урока: «Производная»

Форма работы: индивидуальная, электронное обучение.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока:Сформулировать понятие производной функции;сформировать умение применять определение производной функции для вывода производных различных функций.

Ключевые слова: производная, приращение аргумента, приращение функции, средняя скорость.

 Изучаемая литература:Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа.

 10-11 классы: учеб.для общеобразоват.организаций: базовый и углубл.уровени./Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.- 5 изд.- М.: Просвещение , 2018г




 Интернет- ресурсы : Математика в открытом колледже http://www.mathematics.ru

                                                   Ход занятия :

Организационный этап. Мотивационный модуль

Ребята, сегодня, вы познакомитесь с темой « Производная функции», рассмотрите понятие производной ,задания по данной теме.

Основная часть. Объясняющий модуль.

План изучения:1) Определение производной;

                           2) Физический смысл производной;

                       3) Приращение функции;

                             4) Скорость материальной точки в заданный момент времени

                           по данному закону движения.

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Необходимо запомнить

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента(при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)-f(x0)=Δy, значит,

Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

Необходимо запомнить.

Определение.Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.



Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39                    Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.Найдем приращение Δf функции в точке x0, если приращение аргумента равно x0.

Решение: по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скоростьдвижения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

Обозначение:   или  (х)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Это важно! Схема вычисления производной функции.

  1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

2. Разделить приращение функции на приращение аргумента:



 

3.Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 3.

Вычислить производную функции y=x2

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

  1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²
  2.               Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 4.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.      Ответ: .



1




Сейчас читают про: