Пространство основных функций

Рассмотрим множество бесконечно дифференцируемых функций , которые обращаются в нуль вне некоторого отрезка, своего для каждой функции (финитные функции). Сходимость последовательности функций к функции определим следующим образом:

1) обращаются в нуль вне некоторого отрезка, общего для всех функций,

2) для каждого последовательность равномерно сходится к ,

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций с так определенной сходимостью называется пространством основных функций.

Пространство обобщенных функций.

Линейные непрерывные функционалы на пространстве основных функций называются обобщенными функциями Их действие на основную функцию будем обозначать так:

Сходимость последовательности обобщенных функций к обобщенной функции определим следующим образом:

для каждой основной функции числовая последовательность сходится к числу ,

Множество линейных непрерывных функционалов на пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций с так определенной сходимостью называется пространством обобщенных функций (распределений Шварца).

Примеры.

1) Пусть обычная локально интегрируемая функция (интегрируемая по любому конечному промежутку). Тогда она порождает функционал – обобщенную функцию, которая действует на основные функции по правилу:

где интеграл на самом деле берется по конечному промежутку, т.к. обращается в нуль вне некоторого отрезка. Такие обобщенные функции называются регулярными. Остальные обобщенные функции называются сингулярными.