Дифференцирование обобщенных функций

Рассмотрим сначала регулярные обобщенные функции. Пусть  дифференцируемая функция. Тогда

Это равенство примем за определение поризводной любой обобщенной функции:

Поскольку основные функции  бесконечно дифференцируемы, то обобщенные функции имеют производные любого порядка:

Примеры.

1) Производная дельта-функции.

Производную дельта-функции можно продолжить с пространства  на пространство непрерывно дифференцируемых функций, т.е. функционал

определен для любой непрерывно дифференцируемой функции

Производнуюго го порядка дельта-функции можно продолжить с пространства  на пространство  раз непрерывно дифференцируемых функций, т.е. функционал

определен для любой  раз непрерывно дифференцируемой функции

2) Производная функции Хевисайда.

Функция Хевисайда является регулярной обобщенной функцией и действует на основные функции по правилу:

Ее производная

т.е.

Преобразование Лапласа дельта-функции и ее производных.