Варианты практической работы

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

«Решение тригонометрических уравнений»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Закрепить навыки определения типов тригонометрических уравнений (простейшее, квадратное относительно , однородное относительно  и , уравнение, решаемое разложением на множители левой части).

2. Усвоить алгоритмы решения основных типов тригонометрических уравнений.

ОБОРУДОВАНИЕ: карты индивидуальных заданий, таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов, таблицы частных случаев решения простейших тригонометрических уравнений, таблицы формул тригонометрии, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса и арккотангенса числа а.

б) Перечислите свойства обратных тригонометрических функций.

в) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.

г) Какой вид имеет квадратное относительно  тригонометрическое уравнение? Объясните алгоритм его решения.

д) Какой вид имеет однородное относительно  и тригонометрическое уравнение? Какова методика его решения?

е) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.

2. По образцу выполнить тренировочные задания.

3. Изучить условие задания для самостоятельной работы.

4. Оформить отчет о работе.

 

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:

 

ПРИМЕР 1. Вычислите: .

РЕШЕНИЕ.

= .

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Вычислите: а) ; б) ; в) ;                   г) .

 

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

По формуле частного случая: .

 

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .

 

РЕШЕНИЕ.

Разделим левую и правую части уравнения на 2: .

По формуле  получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на 3: .

 

ПРИМЕР 4. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Выразим : .

По формуле  получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на : .

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

 

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 2

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 3

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 4

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 5

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 6

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 7

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 8

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ;    б) ;     в) .

Вариант 9

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 10

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

 

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:

 

ПРИМЕР 1. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ. Применив основное тригонометрическое тождество: , получим:

,

,

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное уравнение имеет решения

.

Составим два простейших уравнения:

и .

Первое уравнение решений не имеет, так как . Второе уравнение имеет решение:

,

.

          Ответ:

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Так как по формуле приведения , а  по формуле двойного угла, то

.

При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на  и получим:

,

откуда

.

Это уравнение является однородным относительно  и . Разделив обе части полученного уравнения на , получим

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное квадратное уравнение имеет корни . Из уравнения  получаем

,

.

Из уравнения  получаем

.

             Ответ:

 

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .

 

РЕШЕНИЕ.

Запишем данное уравнение иначе:

.

По формуле разности косинусов  получаем:

.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если , то ; если , то .

Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.

 

             Ответ: .

 

ПРИМЕР 4. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

В правой части применим формулу приведения

,

,

.

Применим формулу разности синусов , тогда

.

Вынесем за скобки общий множитель:

.

Если , то ; если , то , значит, .

 

   Ответ: .