Разложение элементарных функций в степенные ряды

Степенные ряды. Радиус сходимости.

Пример 1. Для этого ряда и . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 2. Здесь и . В точках ряд, очевидно, расходится.

Пример 3. Для этого ряда и . В точке числовой ряд сходится по теореме Лейбница. В точке гармонический ряд расходится.

Пример 4. Здесь для нечетных номеров и - для четных. Поэтому и . В точках получается условно сходящийся ряд .

Пример 5. . Здесь и . В точках имеем ряд , который абсолютно сходится.

Разложение элементарных функций в степенные ряды

Разложение .

Для получения разложения заметим, что , и для любого отрезка мы получаем: . Данный ряд сходится на всей числовой оси.

Для получения разложения заметим, что , для разложения производная любого порядка может быть вычислена по формуле

Поэтому

Разложение .

Используем равенство: . Представляя функцию как сумму бесконечной убывающей прогрессии со знаменателем : . Интегрируя это разложение в пределах от 0 до , получим: . Это равенство справедливо при . Кроме того, т.к. ряд сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при .

Разложение .

Используем равенство: . Далее, как и выше, при . Поэтому, при . Кроме того, ряд сходится. Значит, написанное выше разложение имеет место и при .

Разложение бинома .

Если обозначить , то . Поэтому . Это разложение верно для всех , где - радиус сходимости. Для нахождения используем формулу . Кроме того, без доказательства, отметим, что при разложение справедливо и при , а при - для .

В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения .

Следствие 1. Легко видеть, . Поэтому при . Полагая , получаем, что и . Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.

Следствие 2. Формула Стирлинга.

Приведем эту формулу без доказательства.

Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

Так как

то

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При имеем , данный ряд расходится.

При имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 7. Вычислить с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена: