2020-06-12
137
Если 
является функцией периодической, то естественно раскладывать ее в функциональный ряд также по периодическим функциям, например, по косинусам и синусам.
О п р е д е л е н и е
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:
(1)
или, в более общем виде, ряд:
, (2)
где 
– постоянное число, а постоянные числа 
называются коэффициентами тригонометрического ряда.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ
На основе условий ортогональности Фурье получил формулы коэффициентов тригонометрического ряда (1), соответствующего функции 
:
; (3)
, 
; (4)
, . (5)
Общие формулы коэффициентов Фурье 
-периодической функции :
; (6)
, ; (7)
, . (8)
Пример 1
Разложить в ряд Фурье функцию периода 
, заданную на интервале 
формулой: 
(рис. 1).
 |
y
-4π -3p -2p -p 0 p 2p 3p 4π x
Рис. 1
Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье 
:
,
0
т.к. 
.
Следовательно, ряд Фурье функции 
будет иметь вид
.
Так как функция 
удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности сумма ряда равна значению функции. В точках 
и 
сумма ряда равна нулю. На рис. 2 показаны графики: функции и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как график частичных сумм ряда приближается к графику функции при увеличении членов суммы.
y 
Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.
Решение. Функция f (x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.
.
Вычисляя коэффициенты Фурье функции f (x):
,
,
так как
,
.
.
