Дополнительные вопросы (по материалу из курса геометрии 7-8 класса)

Вопросы к экзамену по математике (геометрия)

Класс, 2019-2020 уч.год

Экзамен состоит из двух частей: устной и практической.

Устная часть сдается по билетам. Каждый экзаменационный билет состоит из 2 дополнительных и 1 теоретического вопросов по нижеприведенному списку.

Практическая часть сдается письменно (тест или контрольная работа). Ниже приведены прототипы заданий (!). Т.е. в самом письменном экзаменационном задании будут задания или полностью такие же или с измененными числовыми данными или составленные из нескольких из приведенных.

Теоретические вопросы:

1. Параллелограмм: определение, свойства (перечислить, одно доказать), признаки (перечислить, одно доказать).

2. Подобные треугольники: определение, признаки (перечислить, один доказать).

3. Средняя линия треугольника и трапеции (определение, свойства).

4. Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

5. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

6. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Основное тригонометрическое тождество. Связи между тригонометрическими функциями.

7. Углы, измеряемые дугами окружности (перечислить, теорему об измерении вписанного угла - доказать).

8. Пропорциональные отрезки в круге. (перечислить, доказать одно из свойств)

9. Основные свойства площади многоугольника. Вывод формулы площади прямоугольника.

10. Вывод формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

11. Теоремы об отношении площадей треугольников (перечислить, доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников).

12. Окружность, вписанная в треугольник (доказательство теоремы (см. учебник 7 класса) о ее существовании, способы нахождения радиуса вписанной окружности)

13. Окружность, описанная около треугольника (доказательство теоремы о ее существовании (см.учебник 7 класса), способы нахождения радиуса описанной окружности)

14. Вписанный четырехугольник. Свойства (с доказательством) и признаки (перечислить)

15. Описанный четырехугольник. Свойства (с доказательством) и признаки (перечислить).

Дополнительные вопросы (по материалу из курса геометрии 7-8 класса).

1. Признаки равенства треугольников.

2. Равнобедренный треугольник (определение, свойства)

3. Параллельные прямые (определение, признаки).

4. Ромб (определение, свойства, признаки).

5. Прямоугольник (определение, свойства, признаки).

6. Квадрат (определение, свойства, признаки).

7. Теорема Фалеса.

8. Значения тригонометрических функций для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰.

9. Медиана треугольника. Свойства медиан.

10. Биссектриса треугольника. Свойства биссектрис.

11. Высоты треугольника. Свойства высот.

12. ГМТ: биссектриса угла, серединный перпендикуляр к отрезку, окружность.

13. Касательная к окружности. Свойства и признаки.

 

Прототипы практических заданий:

1. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АК. AD = 17 см, СD = 5 см, АК = 8.

Найдите:

а) Периметр четырехугольника АКСD.

б)

в) Площадь треугольника АВК

г) Площадь треугольника СКD.

д) Длину высоты параллелограмма.

 

2. В параллелограмме АВСD АВ = 6 см, АD = 10 см, BD = 8 см.

Найдите:

а) Тригонометрические функции острого угла параллелограмма.

б) Длину высоты параллелограмма.

в) Длину большей диагонали

г) Площадь параллелограмма.

3. Один из углов равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки длиной 5 см и 12 см.

Найдите:

а) Тангенс острого угла трапеции

б) Длины диагоналей

в) Длину радиуса описанной окружности

г) Площадь трапеции

4. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 7, большая боковая сторона равна 10. Найдите:

а) Углы трапеции

б) Длину большей диагонали

в) Площадь трапеции

г) Длину радиуса вписанной окружности

 

5. В треугольнике АВС со сторонами АВ=3 см, ВС=2 см, СА=4 см проведены биссектриса СK  и высота АН.

Найдите:

а) Длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону АВ.

б) Длину высоты АН

в) Площади треугольников СВК, АВС

г)

 

6. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известно, что АВ=25, АС=15. СН – высота, AD – биссектриса, СМ – медиана.

Найдите:

а) Тригонометрические функции меньшего острого угла.

б) Длины отрезков СН, AD и СМ

в) Отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

г) Отрезки, на которые биссектриса делит катет.

д) В каком отношении биссектриса AD делит высоту CН.

е) Площади треугольников: АСМ, АВС, НСМ

ж) Длины радиусов вписанной и описанной окружностей.

 

7. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60 см.

Найдите:

а) Периметр треугольника

б) Тригонометрический функции угла при основании треугольника.

в) Площадь треугольника

г) Длины радиусов вписанной и описанной окружностей

 

8. В трапецию АВСD с основаниями ВС и AD вписана окружность, центр которой удален от вершин С и D на 15 и 20 см соответственно. Боковые стороны трапеции равны АВ=31 и СD=25.

Найдите:

а) Радиус вписанной окружности.

б) Длину высоты трапеции

в) Периметр трапеции

г) Тригонометрические функции угла D.

д) Площадь трапеции.

е) Длину средней линии.

 

9. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. СМ=5, MD=12, а МВ на 4 меньше, чем АМ, ÐА=30°, ÐВ = 75°

Найдите:

а) АМ

б) Ð BMD

в) Тригонометрические функции Ð BDC

г) Отношение площадей треугольников СМА и BMD.

 

10. Диаметр АВ окружности перпендикулярен хорде CD и пересекает ее в точке М. Радиус окружности равен 7, длина отрезка АМ= 5

Найдите:

а) СD

б) Тригонометрические функции Ð СВА

в) Площадь треугольника АСD

г) Площадь и периметр четырехугольника АСВD

 

11. В треугольнике АВС высоты АР и СК пересекаются в точке О. АР=6 см, СК = 9 см, АВ = 8 см.

Найдите: а) ВС б) ВК, КА в) г) Периметр треугольника АВС

Докажите: а) DАКО~DСPO б) ÐPKO =ÐPAC в) КО×ОС = АО×ОР

12. В четырехугольнике АВСD углы В и D – прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол 40°, а со стороной AD - угол в 30 °. Определите острый угол между диагоналями АС и BD.

 

13. Две окружности касаются внешним образом. Найдите радиус одной из них, если радиус второй равен 8 см, а длина отрезка их общей внешней касательной – 12 см.

 

14. Окружность с центром О радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что
Ð МОN = 120°, ÐNOK = 90°.

Найдите:

а) Углы треугольника АВС

б) Стороны треугольника.