2020-06-12
193
Например, нужно определить высоту предмета (рис. 9), не подходя к нему (невозможно преодолеть препятствия в виде реки или глубокого оврага). Измеряются углы в точках А (DАС) и В (DВС), а так же расстояние АВ между ними. В примере на картинке:
DАС = 28°
DВС = 36°
АВ = 15 метров
тогда, высота предмета:
CD = АВ / (1/tg(DАС) – 1/tg(DВС)) =
= 15 / (1/tg(28°) – 1/tg(36°)) =
= 15 / (1/0.53 – 1/0.73) =
= 15 / (1.89 – 1.38) =
= 15 / 0.51 = 29 метров, с общей суммарной ошибкой измерений – до 10-20%
Рис.9
Примеры, разобранные на этой Интернет-странице, можно бесплатно скачать, сохранить на жёсткий диск своего компьютера или распечатать на принтере, чтобы удобнее было осваивать практические методы измерения расстояний и эффективнее тренироваться в реальных, полевых условиях. Правильное и точное определение ширины реки или водоёма – обязательно необходимо проводить перед форсированием водной преграды.
Высокоточные измерения расстояний
При наличии дальномера (лазерные, свето- и радиодальномеры), получается довольно высокая точность, которая требуется при проведении геодезических работ, где эти приборы и применяют профессионалы. Туристам, в их походах и путешествиях, такие миллиметровые погрешности не нужны.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 90°
Точность вычислений – до третьего знака после запятой. Расчёт был проведён в электронных таблицах Excel по формулам, вида:
TAN(A1*pi()/180)
Пример: tg(60°) = 1.732
| a | sin a | cos a | tg a | ctg a |
| 0 | 0,000 | 1,000 | 0,000 | |
| 1 | 0,017 | 1,000 | 0,017 | |
| 2 | 0,035 | 0,999 | 0,035 | |
| 3 | 0,052 | 0,999 | 0,052 | |
| 4 | 0,070 | 0,998 | 0,070 | |
| 5 | 0,087 | 0,996 | 0,087 | |
| 6 | 0,105 | 0,995 | 0,105 | |
| 7 | 0,122 | 0,993 | 0,123 | |
| 8 | 0,139 | 0,990 | 0,141 | |
| 9 | 0,156 | 0,988 | 0,158 | |
| 10 | 0,174 | 0,985 | 0,176 | 5,671 |
| 11 | 0,191 | 0,982 | 0,194 | 5,145 |
| 12 | 0,208 | 0,978 | 0,213 | 4,705 |
| 13 | 0,225 | 0,974 | 0,231 | 4,331 |
| 14 | 0,242 | 0,970 | 0,249 | 4,011 |
| 15 | 0,259 | 0,966 | 0,268 | 3,732 |
| 16 | 0,276 | 0,961 | 0,287 | 3,487 |
| 17 | 0,292 | 0,956 | 0,306 | 3,271 |
| 18 | 0,309 | 0,951 | 0,325 | 3,078 |
| 19 | 0,326 | 0,946 | 0,344 | 2,904 |
| 20 | 0,342 | 0,940 | 0,364 | 2,747 |
| 21 | 0,358 | 0,934 | 0,384 | 2,605 |
| 22 | 0,375 | 0,927 | 0,404 | 2,475 |
| 23 | 0,391 | 0,921 | 0,424 | 2,356 |
| 24 | 0,407 | 0,914 | 0,445 | 2,246 |
| 25 | 0,423 | 0,906 | 0,466 | 2,145 |
| 26 | 0,438 | 0,899 | 0,488 | 2,050 |
| 27 | 0,454 | 0,891 | 0,510 | 1,963 |
| 28 | 0,469 | 0,883 | 0,532 | 1,881 |
| 29 | 0,485 | 0,875 | 0,554 | 1,804 |
| 30 | 0,500 | 0,866 | 0,577 | 1,732 |
| 31 | 0,515 | 0,857 | 0,601 | 1,664 |
| 32 | 0,530 | 0,848 | 0,625 | 1,600 |
| 33 | 0,545 | 0,839 | 0,649 | 1,540 |
| 34 | 0,559 | 0,829 | 0,675 | 1,483 |
| 35 | 0,574 | 0,819 | 0,700 | 1,428 |
| 36 | 0,588 | 0,809 | 0,727 | 1,376 |
| 37 | 0,602 | 0,799 | 0,754 | 1,327 |
| 38 | 0,616 | 0,788 | 0,781 | 1,280 |
| 39 | 0,629 | 0,777 | 0,810 | 1,235 |
| 40 | 0,643 | 0,766 | 0,839 | 1,192 |
| 41 | 0,656 | 0,755 | 0,869 | 1,150 |
| 42 | 0,669 | 0,743 | 0,900 | 1,111 |
| 43 | 0,682 | 0,731 | 0,933 | 1,072 |
| 44 | 0,695 | 0,719 | 0,966 | 1,036 |
| 45 | 0,707 | 0,707 | 1,000 | 1,000 |
| 46 | 0,719 | 0,695 | 1,036 | 0,966 |
| 47 | 0,731 | 0,682 | 1,072 | 0,933 |
| 48 | 0,743 | 0,669 | 1,111 | 0,900 |
| 49 | 0,755 | 0,656 | 1,150 | 0,869 |
| 50 | 0,766 | 0,643 | 1,192 | 0,839 |
| 51 | 0,777 | 0,629 | 1,235 | 0,810 |
| 52 | 0,788 | 0,616 | 1,280 | 0,781 |
| 53 | 0,799 | 0,602 | 1,327 | 0,754 |
| 54 | 0,809 | 0,588 | 1,376 | 0,727 |
| 55 | 0,819 | 0,574 | 1,428 | 0,700 |
| 56 | 0,829 | 0,559 | 1,483 | 0,675 |
| 57 | 0,839 | 0,545 | 1,540 | 0,649 |
| 58 | 0,848 | 0,530 | 1,600 | 0,625 |
| 59 | 0,857 | 0,515 | 1,664 | 0,601 |
| 60 | 0,866 | 0,500 | 1,732 | 0,577 |
| 61 | 0,875 | 0,485 | 1,804 | 0,554 |
| 62 | 0,883 | 0,469 | 1,881 | 0,532 |
| 63 | 0,891 | 0,454 | 1,963 | 0,510 |
| 64 | 0,899 | 0,438 | 2,050 | 0,488 |
| 65 | 0,906 | 0,423 | 2,145 | 0,466 |
| 66 | 0,914 | 0,407 | 2,246 | 0,445 |
| 67 | 0,921 | 0,391 | 2,356 | 0,424 |
| 68 | 0,927 | 0,375 | 2,475 | 0,404 |
| 69 | 0,934 | 0,358 | 2,605 | 0,384 |
| 70 | 0,940 | 0,342 | 2,747 | 0,364 |
| 71 | 0,946 | 0,326 | 2,904 | 0,344 |
| 72 | 0,951 | 0,309 | 3,078 | 0,325 |
| 73 | 0,956 | 0,292 | 3,271 | 0,306 |
| 74 | 0,961 | 0,276 | 3,487 | 0,287 |
| 75 | 0,966 | 0,259 | 3,732 | 0,268 |
| 76 | 0,970 | 0,242 | 4,011 | 0,249 |
| 77 | 0,974 | 0,225 | 4,331 | 0,231 |
| 78 | 0,978 | 0,208 | 4,705 | 0,213 |
| 79 | 0,982 | 0,191 | 5,145 | 0,194 |
| 80 | 0,985 | 0,174 | 5,671 | 0,176 |
| 81 | 0,988 | 0,156 | 0,158 | |
| 82 | 0,990 | 0,139 | 0,141 | |
| 83 | 0,993 | 0,122 | 0,123 | |
| 84 | 0,995 | 0,105 | 0,105 | |
| 85 | 0,996 | 0,087 | 0,087 | |
| 86 | 0,998 | 0,070 | 0,070 | |
| 87 | 0,999 | 0,052 | 0,052 | |
| 88 | 0,999 | 0,035 | 0,035 | |
| 89 | 1,000 | 0,017 | 0,017 | |
| 90 | 1,000 | 0,000 | 0,000 |
При отсутствии таблиц Брадиса, инженерного калькулятора и компьютера, значения тригонометрических функций можно посчитать, с произвольно высокой точностью, и на простейшем арифмометре, с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления по формулам рядов:
sin x = x – x^3/1*2*3 + x^5/1*2*3*4*5 – x^7/1*2*3*4*5*6*7 + x^9/1*2*3*4*5*6*7*8*9 -...
cos x = 1 – x^2/1*2 + x^4/1*2*3*4 – x^6/1*2*3*4*5*6 + x^8/1*2*3*4*5*6*7*8 -...
tg x = x + (1/3 * x^3) + (2/15 * x^5) + (17/315 * x^7) +...
В степень – число возводится с помощью многократного перемножения.
Например, аргумент в кубе: x^3 = x*x*x На калькуляторе, после набора числа, последовательно нажимаются кнопки: * = =
Главные формулы из геометрии, использовавшиеся в разобранных примерах
Теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2
В прямоугольном треугольнике ABC (рис.10) – отношение двух его сторон, например катета a к гиптенузе c, зависит от величины одного из острых углов, например A.
Основные тригонометрические функции для прямоугольного треугольника:
Синус: sin A = a / c (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
Косинус: cos A = b / c
Тангенс: tg A = a / b
Котангенс: ctg A = b / a
A + B = 90°
B = 90° – A
a = c * sin A = c * cos B
a = b * tg A
Рис.10 Основные тригонометрические формулы для прямоугольного треугольника.
