Парабола, цепная линия

1 2 3 4 5

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2020

Точные науки (от 8 до 17 лет)

«ЕСЛИ ИЗМЕНИТЬ УСЛОВИЕ ИЛИ ЗАДАНИЕ

В ЗАДАЧАХ ПО ПЛОСКИМ КРИВЫМ»

Шахабутдинова Регина 15 лет,

ученица 9-го класса

Руководитель работы:

Дыхова Лариса Владимировна,

учитель математики

МОУ СОШ № 14

г. Киселёвск Кемеровской области

2020 г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………………….. 3

1 Овоид яйцевидный……….…………………………………………………………. 5

2 Завитки………………………………………………………………………………. 6

3 Парабола. Цепная линия……………………………………………………………. 7

4 Циклические кривые………………………………………………………………... 10

4.1 Циклоида…………………………………………………………………………….. 13

4.2 Гипоциклоида……………………………………………………………………….. 18

4.3 Эпициклоида……………………………………………………………………….. 22

5 Линия изогнутой гибкой рейки…………………………………………………….. 25

Заключение……………………………………………………………………………… 26

Список источников информации и иллюстраций…………………………………… 27

Введение

Кривые линии повсеместно встречаются в окружающем нас мире. Это траектории движущихся объектов, очертания инженерных конструкций и деталей машин, границы и результат пересечения поверхностей и т.п. Кривые, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные – пространственными. В данной работе исследованы плоские кривые. [2, с.94]

Возникла проблема: если решать задачи по плоским кривым, как изменится их вид при изменении условия или задания.

И обозначилась цель исследовательской работы: выявление результата при изменении условия или задания в задачах по плоским кривым.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- определить, с какими плоскими кривыми провести исследование;

- выявить, придумать и решить задачи по плоским кривым с изменением условия или задания.

Гипотеза: Если изменить условие или задание в задачах по плоским кривым, то получаются различные интересные варианты их исполнения.

Объект исследования: кривые линии.

Предмет исследования: плоские кривые линии (циркульные и лекальные).

Методы исследования: теоретические и практические: изучение плоских кривых и решение задач с их применением.

Самой объёмной и очень интересной в работе стала тема циклических кривых. Для исследования взяты циклоида, гипоциклоида и эпициклоида.

Дуга, описываемая точкой А между двумя соседними начальными точками, называется аркой циклоиды.

Рисунок 1

В ходе исследования было обращено внимание на названия большинства циклических кривых. Возник вопрос при названии гипоциклоид с семью арками. Они выглядят вот так (рис.2 и 3):

Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4 Рисунок 5

И называются одинаково: гипоциклоида с семью арками. Но как их различать? В своей предыдущей исследовательской работе «Велика ли роль числовых приставок» был выявлен счёт от 1 до 10 греческих приставок: 1 –моно, 2 – би, 3 – три, 4 –тетра, 5 – пента, 6 – гекса, 7 – гепта, 8 – окто; 9 –нона и 10 – дека. А ещё в одной работе «Что умеет школьный циркуль?» были выявлены звёздчатые многоугольники, например, гептаграмма 7/2: в названии приставка гепта означает греческое число 7, а 7/2 означает, что окружность разделили на 7 равных частей и соединили каждую вторую точку на окружности (рисунок 4); 7/3 – соединили каждую третью точку (рис.5).

Теперь придумываем названия большинства циклических кривых на греческий лад.

Арка – по-гречески Αψίδα (апсида). Читается очень просто по буквам:

Α – альфа, ψ – пси, ί –йота, δ – дельта, α - альфа.

Например, рисунок 2 – это: гипоциклоида с семью арками по-гречески может называться так: гипосептаапсида 7/2; рисунок 3 - гипосептаапсида 7/3.

На основе вышеизложенного в качестве эксперимента были даны греческие названия всем приведённым циклическим кривым.

Овоид яйцевидный

Овоид – замкнутая циркульная коробовая кривая, имеющая одну ось симметрии. [7,с.28]

Задача		Решение	Пояснение
1.1	Построить яйцевидный овоид нормальной формы		Из центра О₁провести окружность радиусом R₁=АВ/2 и на вертикальной оси отметить точку О₄. Провести прямую АВ. Из центров А и В провести дуги окружностей радиусом R₂ =АВ до пересечения с прямыми АО₄ и ВО₄ в точках 2 и 3. Замыкающую дугу радиусом R₃ = О₄2 провести из центра О₄.
1.2	Изменить задание задачи 1.1		Провести вспомогательную окружность радиусом R₂ > R₁.
	Построить яйцевидный овоид острой формы
1.3	Изменить задание задачи 1.1		Провести вспомогательную окружность радиусом R₂ < R₁.
	Построить яйцевидный овоид тупой формы
Вывод: Приизменении задания меняем радиус вспомогательной полуокружности, в результате чего и получаются овоиды разной формы. Если яйцевидный овоид вращать вокруг вертикальной оси, получится тело вращения, похожее на куриное яйцо. Действительно, куриные яйца бывают нормальной, острой и тупой формы.

2 Завитки

Завиток представляет собой плоскую незамкнутую циркульную составную кривую, по форме похожую на спираль и состоящую из нескольких дуг различный радиусов, проведённых из нескольких центров. При построении радиус каждой последующей дуги увеличивается на радиус первой дуги. [5, с.34; 6, с.108]

Задача		Решение
2.1	Построить завиток из двух центров, или завиток, «глазками» которого является окружность радиуса R.
2.2	Изменить задание задачи 2.1
	Построить завиток из трёх центров, или завиток, «глазками» которого является правильный треугольник со стороной а= R.
2.3	Изменить задание задачи 2.1
	Построить завиток из четырёх центров, или завиток, «глазками» которого является квадрат со стороной а= R.
2.4	Изменить задание задачи 2.1
	Построить завиток из шести центров, или завиток, «глазками» которого является правильный шестиугольник со стороной а= R.
Вывод: Чем большее число сторон будет иметь «глазок» завитка, тем более плавным получится очертание самого завитка, а чем меньше, тем завиток более закрученный.

Парабола, цепная линия

Задача		Решение
3.1	Построить параболу	[6, с.114]
Построение параболы Проводится горизонтальная ось х и перпендикулярно ей – вертикальная ось под названием директриса. Для построения параболы задаётся параметр, который откладывается по оси х от директрисы. Обозначается полученная точка буквой F – это фокус параболы. Параметр делится пополам, получается точка А – вершина параболы. Парабола – лекальная кривая, поэтому для её построения необходимо найти характерные точки. На горизонтальной оси отмечаются точки 1,2,3 …и т.д (произвольно или через равные промежутки), через которые проводятся вертикальные линии (параллельно директрисе). Теперь само построение. Ножку циркуля устанавливаем в точку 1 и в раствор циркуля берём расстояние от точки 1 до директрисы. Затем ножку циркуля устанавливаем в точку F и делаем засечки вверху и внизу на линии 1. Аналогично поступаем с остальными точками. Сначала от руки плавно соединяем карандашом найденные точки, а затем уверенно проводим параболу с помощью лекала.
3.2	Изменить условие задачи 3.1		Вывод: Из чертежа видно: чем больше параметр, тем сильнее размах ветвей параболы. Это должно учитываться при проектировании отражателей, прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков. Если взять одну и ту же лампочку для всех трёх отражателей, то ярче всего будет светить, например, фонарик тот, параметр отражателя у которого будет меньше, т.к. пучок света будет более собранный, но площадь освещения при этом будет меньше.
	Построить три параболы с Р=10, Р=40 и Р=60 мм на одном чертеже. Сделать выводы.
3.3	Изменить условие задачи 3.1	Вывод: соответствует.
	Построить параболу с Р=35 мм и на этом чертеже проверить, соответствует ли форма провисшей нити форме параболы.
3.4	Изменить условие задачи 3.3	Вывод: не соответствует.
	На чертеже задачи 3.3 проверить, соответствует ли форме параболы форма тяжёлой нити.
3.5	Построить цепную линию с диаметром в 70 мм. И на этом же чертеже проверить, соответствует ли форме цепной линии форма тяжёлой нити.	Вывод: соответствует.
Построение цепной линии Цепная линия – это кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжимая нить с закреплёнными концами. Для построения кривой задаёмся начальной окружностью с центром в точке О и некоторой точкой С₁. Горизонтальную прямую ВС₁ делим на некоторое число одинаковых отрезков. На прямой, соединяющей центр О с точкой С₁, на расстоянии d от точки С₁ восставим перпендикуляр. Точка С пересечения перпендикуляра с вертикальной прямой является искомой. Построение других точек ясно из чертежа. Точка А является вершиной цепной линии.
3.6	На одном чертеже построить параболу с Р=35 мм и цепную линию с диаметром в 70 мм и сравнить их.	Вывод: парабола и цепная линия – это разные плоские кривые.

Циклические кривые

Циклическими называют кривые линии, образование которых связано с движением круга; к ним относятся циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.

Задача 4.1 Выявить способы построения циклических кривых.

I способ построения – самый наглядный Чертим подвижную окружность диаметром d, делим её на чётное число (например, на 12) – получим точки 1…12. Раскатываем подвижную окружность – получим точки 1₁…12₁ (длиной d), из которых восставим перпендикуляры, на линии центров получим точки О…О₁₂ – центры подвижной (перекатываемой) окружности. Описывая из этих центров окружности радиусом d/2, отмечаем точки пересечения с ними прямых, проходящих параллельно А₀ А₁₂из точек 1…12 на подвижной окружности. В пересечении горизонтальной прямой, выходящей, например, из точки 1, с окружностью, описанной из центра О₁, находится одна из точек циклоиды А₁. Из точки 2 – с окружностью, описанной из центра О₂, - А₂ и т.п. Соединяя полученные точки плавной кривой, получаем циклоиду. [7. с.43; 10/page:4/] II способ построения – менее наглядный Построение подвижной окружности, нахождение точек на её окружности, раскатывание окружности, построение центров окружности – аналогично I способу. Для нахождения точек А₁-А₁₂ вспомогательные окружности проводим не полностью, а только до пересечения с соответствующей горизонтальной линией. [5, с.46, рис.52а; 6. с.120,рис.155]

III способ построения, где приближённое построение циклоиды выполняется дугами окружностей с помощью отрезков, параллельных пучку хорд (в данном случае циклоида – циркульная кривая) [5, с.47, рис.54а; 6,с. 120, рис.154]

Данную подвижную окружность разделить на чётное число равных частей, из точки С провести пучок хорд С1, С2 и т.д. На столько же частей разделить спрямлённую длину окружности

d - получим точки 0,1_1…12₁. Через точку 5₁ проводим линию параллельную хорде С5: вверх отложить отрезок, равный С5 – это будет точка А₅; вниз провести до пересечения с вертикальной осью симметрии – это будет центр О₅. Радиусом О₅А₅ провести циркулем дугу А₅А₆. Дугу А₅А₄ строим аналогично: через точку 4₁ проводим линию параллельную хорде С4: вверх отложить отрезок, равный С4 – это будет точка А₄; вниз провести до пересечения с А₅О₅– это будет центр О₄. Радиусом О₄А₄ провести циркулем дугу А₄А_5.Аналогично строятся оставшиеся дуги. IVспособ построения с помощью отрезков, равных пучку хорд [5, с.46, рис.52б]

d - получим точки 1_1…12₁. Через точку 1₁ проводим линию параллельную и равную хорде С1, через точку 2₁ линию параллельную и равную хорде С2 и т.д. (Горизонтальные линии дублируют правильность построения точек циклоиды).

V способ построения - упрощенный засечками (авторский)

В 7 классе в исследовательской работе «Что умеет школьный циркуль?» был проведён эксперимент по минимальной скорости прохождения шарика по разным видам трассы. Вместо жёлоба была взята полиэтиленовая труба (она имеет свойство сгибаться). Для чистоты эксперимента, чтобы согнуть трубу по циклоиде, на четырёх листах ватмана была построена половина циклоиды с исходным диаметром 95 см. Вот тогда был придуман способ построения циклоиды с помощью засечек на вспомогательных горизонтальных линиях вместо вычерчивания каждого положения подвижной окружности. Центры дуг сразу показываются на линии центров. VI способ построения - упрощенный засечками, радиус которых равен половине исходной окружности, при этом сама окружность показана наполовину (авторский)

Данный способ построения циклоиды стал ещё проще: вместо полной стала показываться только половина подвижной окружности. В дальнейшей работе будет применяться в основном шестой способ построения циклических кривых.

Циклоида

Задача 4.1.1 По какой кривой будет перемещаться точка на окружности d, если эта окружность будет катиться без скольжения по прямой?

Решение:

Точка на окружности будет перемещаться по циклоиде. Циклоида: плоская кривая - арка, которую описывает точка, закреплённая в плоскости круга (подвижный круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой (направляющая). Отрезок А₀А₁₂, равный длине подвижного круга, называется «базой» циклоиды. [5, с.45]

Изменить условие задачи 4.1.1

Задача 4.1.2 По какой кривой будет перемещаться точка на окружности d₁<d, если эта окружность будет катиться без скольжения по прямой?

Решение:

Точка на окружности d₁<d будет перемещаться по трохоиде, или укороченной циклоиде. [5, с.46,47]

Изменить условие задачи 4.1.1

Задача 4.1.3 По какой кривой будет перемещаться точка на окружности d₂>d, если эта окружность будет катиться без скольжения по прямой?

Решение:

Точка на окружности d₂>d будет перемещаться по трохоиде, или удлинённой циклоиде. [5, с.46,47]

Задача 4.2 Можно ли представить несколько циклоид подряд?

Решение: Несколько циклоид подряд - это арка́да, т.е. ряд одинаковых по форме и размеру арок.

Задача 4.3Какие циклические кривые можно получить с помощью колеса железнодорожного вагона, когда состав движется по прямым рельсам?

Решение:

Средний круг катания, диаметр d; слева от среднего круга катания d₁<d; справа - d₂>d. Вывод: Движение точки на среднем круге катания даёт циклоиду, слева от среднего круга катания, где d₁<d - укороченную циклоиду, справа, где d₂>d – удлинённую циклоиду. [4, с.792]

Задача 4.4Какие циклические кривые можно получить с помощью колеса телеги при движении по ровной поверхности?

Решение:

Вывод: Движение красной точки на колесе телеги – циклоида, белой точки – укороченная циклоида. Удлинённых циклоид на таком колесе телеги быть не может.

Задача 4.5Какие циклические кривые можно получить с помощью велосипедного колеса при движении по ровной поверхности?

Решение:

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 На велосипедном колесе: рис.1 – средний круг катания; рис.2 – движение жёлтой точки на среднем круге катания даёт циклоиду; рис.3 – движение салатного цвета точек даёт укороченную циклоиду. Вывод: Точки на велосипедном колесе дают либо циклоиду, либо укороченные циклоиды. Удлинённых циклоид на велосипедном колесе быть не может.

Задача 4.6 Интернет даёт вот такую информацию:

Подтвердить или опровергнуть наличие циклоиды на цепи, турнике и на шторах.

Решение: Цепь и тяжёлый канат на турнике дают цепную линию (см. задачу 3.5).

1) Проверяем наличие циклоиды на шторах:

У циклоиды высота провисания – это диаметр (подвижного круга), а длина – это длина окружности. Легко проверить, а может ли быть такая циклоида параболой. Если длину разделить на диаметр, должно получиться в ответе 3,14. На данной фотографии и без расчётов видно, что циклоиды здесь нет, а вот парабола есть.

Задача 4.7 Повесить шторы так, чтобы их длина была в 3,14 раза была больше высоты. Что покажут шторы: наличие параболы или циклоиды?

Решение: Методом подбора находим одинаковый размах ветвей параболы и базу циклоиды и одинаковую высоту параболы и циклоиды, при этом первый размер в 3,14 раза больше второго. Для компактности чертежа прочерчиваем половину.

Вывод: Во-первых, парабола и циклоида - разные плоские кривые. Во-вторых, вспомним лёгкую верёвочку (задача 3.3) – она провисает по параболе. И здесь лёгкая штора провисает по параболе.