Свойства общего решения

Тема 4.6. Дифференциальные уравнения

В приложениях математики к различным отраслям науки и техники дифференциальные уравнения занимают важное место. В отличие от алгебраических уравнений в дифференциальных уравнениях по некоторым заданным функциям требуется определить функцию, которая задается своими производными. Таким образом, дифференциальными уравнениями описываются более сложные процессы, происходящие в природе и технике.

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные у ′, у ′′,…

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Символически дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом:

F (x, y, y ′) = 0 или у ′ = f (x, y)

 

       Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

 

       Пример  - обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка.

 - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка.

 

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = φ (х), которая обращает данное уравнение в тождество.

 

Общим решением дифференциального уравнения называется функция у = φ (х,С), зависящая от постоянной С и удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении этой постоянной.

Свойства общего решения

       1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

       2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

 

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянной.

           

       Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

 

       Теорема Коши(теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

       Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение  уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:                        

        - общее решение исходного дифференциального уравнения.

       Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

       При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).