Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у ′ = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у ′ = f ₁(x) ∙ f ₂(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 уу ′ = 1-3 х ².

Заменим у ′ = и умножим обе части уравнения на dx.

Получим: 2 уdy = (1-3 х ²) dx,

Затем найдем интегралы от обеих частей:

2∫ уdy = ∫(1-3 х ²) dx,

у ² = х - х ³+ С.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+ x ²) dy – 2 x (y +3) dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2 x (y +3) dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+ x ²)(y +3)).

Получим: ,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1. . Введем новую переменную t = у +3, тогда dt = (у +3) ′∙ dу = dу, т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln +C = ln + C

2. . Введем новую переменную t = 1+ x ², тогда dt = (1+ x ²) ′∙ dx = 2 xdx, откуда d x = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: ,

найдем С: С = ln 2,

подставим в общее решение получившееся значение C:

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у (2)= 1.

при у (2) = 1 получаем

или - частное решение;

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Если у(1) = 0, то

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Однородные уравнения

Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример. Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и, найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .