Вопрос 3. Подготовить справочные и рабочие таблицы по теме: «Положительные и отрицательные числа»

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

 высшего образования

 Пензенский государственный университет

Педагогический институт им. В.Г. Белинского

 

Факультет физико-математических и естественных наук

Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

 

Контрольная работа

по дисциплине «Методика обучения и воспитания (математика)»

вариант - 9

 

                                                                                  Выполнил:

студентка группы

16ЗФПМ51

Малькова Татьяна Викторовна

Проверил:

к.п.н., доцент 

Марина Елена Владимировна

 

 

Пенза, 2020

Вариант - 9

Вопрос 1. Дано конкретное неравенство ax²+bx+c>0. Найти не менее 4 способов его решения и разработать методику работы с обучающимися в каждом отдельном случае.

При изучении темы «Квадратные неравенства» необходимо учитывать методические рекомендации, для лучшего усвоения темы и устранения стандартных ошибок.

1.  Перед изучением темы «Квадратные неравенства» целесообразно вспомнить решение квадратных уравнений и график квадратичной функции, для актуализации знаний.

2.  При изучении определения квадратных неравенств необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что квадратное неравенство может иметь неполный вид и разобрать решения таких неравенств на примерах.

3.  Нужно подробно рассмотреть и обобщить случаи расположения графика и оси x, в зависимости от знака первого коэффициента и дискриминанта.

Полезно иметь в кабинете таблицы с графиками, где проиллюстрированы все возможные

относительно оси x.

4.  При решении неравенства стандартного вида, у которого первый коэффициент отрицательный рекомендуется всегда умножать обе части неравенства на - 1. Это поможет избежать ошибок при вычислении корней квадратного трехчлена и при выборе промежутков по схеме графика.

Важно помнить о смене знака неравенства на противоположный, это правило изучалось ещё при решении линейных неравенств, но действует также и при решении квадратных.

5.  Следует объяснить учащимся, что при решении квадратных неравенств метод интервалов не стоит использовать, если этого не сказано в условии задачи. Гораздо важнее понять и освоить метод схематичного построения параболы, который является наглядным представлением решения неравенства.

6.  Использование математических упражнений и задач позволяет

определить уровень знаний учащихся. Упражнения и задачи должны быть

расположены в порядке возрастания сложности.

Перед изучением темы «Квадратные неравенства» учитель может дать учащимся краткий тест, с помощью которого подготовленности учащихся к изучению новой темы. Также этот тест может служить актуализацией знаний учащихся, если сразу после тестирования разобрать задания вместе с учениками.

7.  Поиск способа решения является основным компонентом решения задачи. «Научить учащихся решать задачи – значить научить их осознанному поиску способа решения».

Целесообразно сначала дать возможность учащимся решить задачу самостоятельно, на основании изученной теории, по аналогии с уже известными примерами. Затем можно проанализировать решение задачи с помощью ответов на вопросы учителя. Далее учитель должен показать и объяснить своё решение, сопровождая его устными указаниями и советами. Здесь важно понять и закрепить полученные знания.

Учитель может предложить решить квадратные неравенства на основе

имеющихся знаний, со своей помощью. Можно предложить решить неравенство:

Пример 17. 2x² – 7x + 6 >0

Учащимся можно подсказать, что сначала нужно рассмотреть функцию, графиком которой является парабола, и найти точки ее пересечения с осью x. На основе имеющихся знаний, учащиеся могут решить уравнение и построить график этой функции (рис. 17).

 

 

Рис. 17 Рисунок к примеру 17

 

После построения графика, учителю нужно обратить внимание на то, что в задании нужно найти такие значения x, которые будут удовлетворять неравенству. А это значит, что в данном примере значение функции должно быть больше нуля. То есть в ответ войдут два промежутка, на которых ветви. Также следует обратить внимание на знак неравенства, в данном примере это строго больше нуля. Значит, в ответ запишем промежутки, не включая точки пересечения с осью x.

Ответ: (-∞; 1,5)U(2;+∞)

Затем учитель должен проанализировать полученное решение вместе с учащимся. Задать наводящие вопросы и вместе с учениками вывести алгоритм решения квадратных неравенств.

После составления алгоритма учитель решает на доске еще один пример, строго по составленному плану, подробно объясняя каждый шаг и контролируя усвоение этапов алгоритма учащимися.

8. Для закрепления знаний и отработки навыков решения квадратных неравенств учащимся нужно предложить различные задания, например отличающиеся по формулировке условия: решить неравенство; найти множество решений неравенства; найдите, при каких значения x трехчлен принимает положительные (отрицательные) значения. Также нужно показать, что обозначение переменной может быть разным (x, y, z, t, …).

9. При решении самостоятельной или контрольной целесообразно ставить перед учащимися задачу решить задание наиболее рациональным способом, либо решить несколькими способами. Сейчас урок математики является постоянно развивающейся формой организации занятий. Чаще всего выделяется типология уроков, зависимости от дидактических целей: урок изучения нового материала, урок закрепления, урок проверки и оценки знаний, комбинированный урок.

Каждый тип урока будет отличаться по структуре. Но каждый урок должен обладать некоторыми признаками:

– содержание урока строится с опорой на ранее изученный материал и становится некоторой основой для изучения следующих тем;

– в процессе обучения происходит разделение учащихся в зависимости способностей, склонностей, что показывает необходимость дифференцированного обучения;

– урок должен быть построен так, чтобы все учащиеся могли усвоить основной материал;

– теоретический материал в процессе изучения математики в основном усваивается при решении задач, поэтому теория не изучается отдельно от практики.

Подготовка учителя к урокам начинается с тематического планирования учебного процесса.

Качественному обучению предшествует хорошее планирование.

То есть, учителя лучше всего могут удовлетворить потребности учащихся, когда у них есть определенное видение того, как должен проходить урок, что должны знать ученики после изучения темы.

Представим схему для тематического планирования:

– ознакомление с программой и постановка задач изучения темы;

– изучения содержания учебного материала по теме, определение основных знаний, умений, навыков, которые должны будут усваивать учащиеся;

– определение видов уроков, разработка логики раскрытия темы;

– разбиение всей темы на количество уроков, в соответствии с программой (количество часов, отведенных на изучение темы);

– определение основных задач каждого урока;

– выбор методов, форм и средств, необходимых для решения намеченных задач;

– выбор оптимального темпа обучения для урока;

– отбор материала и выбор методов для домашней работы учащихся.

Я.И. Груденов выделяет два возможных способа изучения решения квадратных неравенств: самостоятельный разбор примеров из учебника; объяснение способа решения учителем. И рассматривает более подробно первый из способов.

На основе примера решения квадратного неравенства из учебника нужно составить задание для учащихся. Так как ученикам нужно научиться решать подобные примеру квадратные неравенства, то можно поставить перед ними такую задачу: рассмотрите приведенный в учебнике пример и на его основе составьте алгоритм решения.

После выполнения этого задания учащимися нужно сравнить составленный ими алгоритм с предлагаемым учителем.

Я.И. Груденов предлагает такое дидактическое правило: «сначала учитель ставит конкретное задание, которое должны будут выполнять учащиеся по ходу ознакомления с материалом. Только после уяснения учащимися этого задания им предлагается читать соответствующий параграф учебника, слушать объяснение учителя или вызванного ученика» [10, с.47].

В этом параграфе приведены методические рекомендации для обучения теме «Квадратные неравенства», представлена примерная схема для тематического планирования.

Для успешного решения этих задач учащимся необходимо знать алгоритм решения квадратных неравенств, формулу нахождения дискриминанта, формулы нахождения корней квадратного уравнения, свойства квадратичной функции, уметь схематично строить график.

 

Рассмотрим решение квадратного неравенства на примере.

Пример 1

Решить неравенство: 3x² – 7x + 4 < 0

Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим квадратное уравнение:

3x² – 7x + 4 = 0

 

 

Отметим два найденных корня на числовой прямой. Проведем схематично параболу через эти точки, ветви параболы направлены вверх (рис. 1).

По схеме графика видим, что отрицательные значения функция принимает на промежутке (1; 4/3)

Ответ: 1; 4/3

Но у квадратного уравнения не всегда существуют два различных действительных корня.

Теорема 1 Если квадратное уравнение не имеет действительных корней, и a > 0, то при любых значениях x выполняется неравенство ax² + bx + c > 0

Теорема 2 Если квадратное уравнение не имеет действительных корней, и a < 0, то при любых значениях x выполняется неравенство ax² + bx + c < 0

 

Пример 2 Решить неравенство: 2x² + x + 67 > 0

Приравняем левую часть к нулю и найдем корни уравнения.

 

Получили отрицательный дискриминант, значит, действительных

корней нет. Следовательно, график функции не имеет точек пересечения с

осью x. Ветви параболы направлены вверх, сделаем схематичный набросок

графика этой функции (рис. 2).

 

 

По графику видим, что при любом значении x график функции расположен выше оси x, следовательно, при всех значениях x выполняется неравенство: 2x² + x + 67 > 0

Ответ: (- ∞; +∞)

Итак, для решения квадратных неравенств с помощью схематичного построения параболы используем следующий алгоритм:

1.  Находим корни квадратного трехчлена;

2.  Строим схематично график квадратичной функции, через точки пересечения или касания с осью x;

3.  По графику находим промежутки, на которых функция принимает

значение удовлетворяющее условию задачи.

2.  Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Для решения неравенства методом интервалов используем такой алгоритм:

1.  Находим нули функции и отмечаем их на числовой прямой;

2.  Получив числовую прямую разбитую на промежутки, определяем

знак функции на каждом из промежутков;

3.  Выбираем только те промежутки, в которых функция принимает значение удовлетворяющее условию задачи.

Рассмотрим решение квадратного неравенства с помощью метода интервалов на примере.

 

Пример 3 [18]. Решить неравенство методом интервалов.

В ответ выбираем интервалы, на которых функция положительна.

Ответ: (–∞; 1] ∪ [4; +∞).

3 Решение квадратных неравенств с помощью метода выделения полного квадрата.

Для этого нужно выделить полный квадрат из квадратичной функции и проанализировать полученное выражение. Рассмотрим этот метод на примере.

 

Пример 4 Решить неравенство с помощью метода выделения полного квадрата:

x² + 6x + 11 > 0

x² + 6x + 11 = (x² + 6x + 9) + 2 = (x + 3)² + 2

Нам нужно найти значения больше нуля. Проанализировав полученное выражение, видим, что при любых будет выполняться неравенство (x + 3)² + 2 > 0

Ответ: (- ∞; +∞)

Стоит отметить, что в учебниках общеобразовательной школы при изучении темы «Квадратные неравенства» этот метод не рассматривается, но он может быть использован на факультативных занятиях, для сильных учеников.

4.  Решение квадратных неравенств графическим методом.

При графическом решении квадратных неравенств необходимо построить график квадратичной функции и по графику найти значения, удовлетворяющие условию задачи.

Отличительной особенностью этого метода является то, что решать квадратное уравнение не надо, но нужно построить точный график.

 

Пример 5 Решить неравенство графически:

x² – 2x – 3 ≤ 5

Построим графики функции y = x² – 2x – 3 и y = 5 (рис. 4).

 

 

По графику определим промежуток, исходя из условия задачи.

Ответ: [- 2; 4].

 

 

Вопрос 2. Какие Вам известны виды определений геометрических понятий? Подобрать для каждого вида определений примеры из какого-нибудь учебника.Найти разные варианты определений отрезка, луча, угла.

 

Рассмотрим особенности методики формирования геометрических понятий (не только на первых уроках геометрии).

Г. Фройденталь писал: «В школе математика должна рассматриваться не как завершенная наука, а как вид деятельности» («Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей. - М., 1982. - Ч. 1). Это значит, что в процессе обучения математике учитель должен использовать в разных ситуациях (при формировании математических понятий, обучении решению задач, доказательству теорем) деятельностный подход, сущность которого заключается в деятельностной природе знаний. (Более подробно он изучается в разделах общей методики математики.)

Рассмотрим реализацию этого подхода при формировании геометрических понятий в основной школе.

Понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, составляют 2 группы: неопределяемые и определяемые. Большинство понятий, представленных в курсе геометрии, определяются по способу «через ближайший род и видовые отличия». Причем в разных учебниках геометрии используются иногда различные определения одних и тех же понятий. Например, параллелограмм в разных пособиях трактуется как:

• а) четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
• б) пересечение двух полос с непараллельными краями;
• в) четырёхугольник, имеющий центр симметрии и т.д.

Все эти определения неравноценны в том смысле, что они обладают разной степенью наглядности. Учитывая важность образного компонента в процессе формирования понятия, следует заметить, что в школьном учебнике геометрии желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. С точки зрения этого требования наиболее удачным является традиционное определение параллелограмма, как четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В целом, формирование геометрических понятий осуществляется по этапам.

1 этап. Начинается процесс формирования понятия, как известно, с мотивации его введения. Сущность этого этапа заключается в возбуждении интереса к изучению понятия. Важным средством мотивации введения геометрических понятий является выполнение упражнений, рассмотрение моделей фигур, в частности, готового рисунка. Приведем примеры.

1. Выполняется упражнение: А АВС - равнобедренный (АВ = ВС), BD- бисссктриса угла В (рис. 53). Доказать, что A ABD = ACBD.

Внимание учащихся обращается на то, что отрезок BD соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это дает возможность ввести понятие медианы треугольника.

• 2. При изучении взаимного расположения прямой и окружности обращается внимание на то, что окружность и прямая могут иметь только одну общую точку. Этот случай мотивирует введение понятия касательной к окружности.
• 3. Понятия треугольника, четырехугольника можно ввести на основе рассмотрения предметов, имеющих такую форму.
• 4. При рассмотрении моделей различных фигур (куба, пирамиды и т.д.), а также окружающих предметов можно ввести понятия параллельных прямых, пересекающихся прямых.

Со многими геометрическими фигурами можно познакомить учащихся в процессе выполнения упражнений на построение этих фигур. Например, равнобедренный треугольник появляется в результате упражнения на построение треугольника по трем сторонам, из которых две равны.

Мотивация введения отдельных понятий предусмотрена и в учебниках геометрии. В учебнике А. В. Погорелова широко используется готовый рисунок, в учебнике Л. С. Атанасяна и др. - практические задания, в учебнике А. Д. Александрова и др. - практические ситуации.

Мотивацией изучения материала может служить необходимость расширения или углубления теории. Например, введение векторов вызывает различные операции с ними. В каждом конкретном случае вопрос о мотивации введения понятия решает учитель, и иногда этот этап может отсутствовать, например, при изучении понятий, мотивация введения которых сложна, либо понятий, с которыми ученики уже знакомы на уровне наглядных представлений, а также понятий, которым отводится второстепенная роль.

И этап. Выделение существенных свойств понятия, составляющих его определение (на них следует акцентировать внимание учащихся). Например, ознакомление с существенными свойствами понятия вертикальных углов может быть осуществлено путем выполнения упражнения:

Постройте произвольный угол, отличный от развернутого. Продолжите его стороны за вершину угла. Охарактеризуйте образовавшиеся пары углов.

В результате построения образуется 4 пары смежных углов, известных уже учащимся, и две пары углов, стороны которых являются дополнительными лучами. Таким образом, выполняя это упражнение, учащиеся закрепляют понятие смежных углов и знакомятся с существенными свойствами вертикальных углов. С помощью упражнений на построение объектов, удовлетворяющих определенным свойствам, можно осуществлять ознакомление учащихся со многими геометрическими понятиями.

В 5- 6 классах выделение существенных свойств понятий можно осуществлять с помощью упражнений на конструирование фигур, выполняя которые учащиеся сами выделяют эти свойства понятия. Например, ознакомление с существенными свойствами биссектрисы угла может быть осуществлено в процессе выполнения упражнений на перегибание листа бумаги так, чтобы его стороны совпали.

III этап. На этом этапе происходит синтез выделенных существенных свойств и формулировка определения понятия.

IV этап - выяснение понимания каждого слова в определении. На этом этапе не следует пока требовать запоминания определения. Важно выявить, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. Непонимание смысла отдельных слов затрудняет усвоение логической структуры определения понятия. Понимание материала - важнейшее условие его запоминания.

V этап - усвоение логической структуры определения понятия. Оно достигается с помощью специальных упражнений. Один из типов таких упражнений составляют упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию (как составляются такие упражнения, вы знакомились в курсе общей методики математики).

При формировании геометрических понятий удобно для упражнений на распознавание объектов, принадлежащих изучаемому понятию, использовать готовые рисунки. Приведем пример.

1. Какие из углов, отмеченных на рис. 54, являются смежными?

При распознавании смежных углов следует использовать различные ситуации изображения их на рисунке. Можно в упражнения на распознавание включать требования: изменить условие так, чтобы указанный объект принадлежал понятию. Кроме упражнений на готовых чертежах, следует использовать задания с неопределенным ответом. Например:

2. Являются ли два угла смежными, если у них одна сторона общая.

Однозначный ответ на этот вопрос отсутствует, так как ничего не сказано о двух других сторонах этих углов.

Для усвоения определения понятия, кроме действия распознавания, используется действие отыскания следствий. Для овладения этим действием рекомендуются упражнения на отыскание свойств, которыми обладает объект, принадлежащий понятию. Приведем примеры.

· 3. Четырехугольник KPDF параллелограмм. Какими свойствами обладает он?

· 4. Углы 1 и 2 - смежные. Что из этого следует?

VI этап - запоминание определения.

VII этап - использование понятия в конкретных ситуациях.

VIII этап - установление связей данного понятия с другими понятиями.

На VII -VIII этапах осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия, выяснение места данного понятия в системе других понятий. Здесь же учащиеся овладевают умениями переходить от определения понятия к его различным существенным свойствам и обратно, усваивают связи изучаемого понятия с ранее изученными.

В школьном курсе геометрии есть ряд понятий, вводимых путем описания. Процесс формирования этих понятий состоит из тех же этапов, что и формирование понятий с указанием их определений, за исключением этапов III и IV. Работа по формированию таких понятий требует особого внимания учителя; необходимо выделить свойства понятия, разработать алгоритм их применения, составить упражнения, в которых существенные свойства явились бы предметом действия учащихся.

Итак, процесс формирования геометрических понятий (так же как и других математических понятий) включает 8 этапов. Ведущая роль на каждом из этапов принадлежит упражнениям.

Процесс формирования понятий является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий, внимание к этапам формирования может быть различным.

Вопрос 3. Подготовить справочные и рабочие таблицы по теме: «Положительные и отрицательные числа»

Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.

Определение 1

Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.

Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).

Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.

Определение 2

Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.

После того, как мы ввели основные определения, мы можем без труда привести примеры.

Определение 3

Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.

Определение 4

Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов, Ш.А. Алгебра. 8 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.В. Сидоров. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012 – 255 с.

2. Алимов, Ш.А., Алгебра. 9 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- 17-е изд. – М.: Просвещение, 2012 – 287 с.

3. Бабенко, С.П. Алгебра. 9 класс: Разработки уроков [Текст] / С.П. Бабенко. – Харьков: «Ранок», 2011 – 256 с.

4. Блох, А.Я. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Частная методика: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по физ.-мат. специальностям / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В.

5. Дорофеев.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987 – 416 с.

6. Боровских, А.В. Предметные и метапредметные проблемы школьного курса математики. Тема «Неравенства» [Электронный ресурс] / А.В. Боровских, В.Е. Веревкина // Наука и школа. – 2015 – № 5 – С. 77-87. – доступа: https://elibrary.ru/item.asp?id=24852670. -

7. Последнее обновление 23.01.2018.

8. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе / В.М. Брадис; под ред. А.И. Маркушевича. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1954 – 504 с.

9. Бурмистрова, Т.А. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7-9 классы [Текст]: пособие для учителей общеобразовательных организаций / Т.А. Бурмистрова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014 – 96 с.

10. Ганжа, И.П. Информатизация образовательного пространства учителя математики [Электронный ресурс] / И.П. Ганжа // Педагогический университетский вестник Алтая. – 2006 – №1. – С. 328-332. – Режим доступа: https://elibrary.ru/item.asp?id=21479406. – Последнее обновление 03.06.2018.

11. Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст]: пособие для учителей / Г.И. Глейзер – М.: Просвещение, 1964 –375 с.

12. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: книга для учителя / Груденов Я.И. – М.: Просвещение, 1990 – 224 с.