Дифференциальные уравнения второго порядка

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на функции и . Получим . Проинтегрируем это равенство: , получим .

Здесь в качестве произвольной постоянной взяли (С = const).

Общее решение уравнения можно записать в виде .

Выделим из полученного общего решения частное решение, исходя из начального условия . Подставляя эти значения в общее решение, получаем или . Следовательно, частное решение задается уравнением или .

Последнее уравнение задает на плоскости гиперболу. Нетрудно убедиться, что общее решение данного дифференциального уравнения задает семейство гипербол.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Уравнение вида называется линейным ( и входят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение называется линейным неоднородным.

Если , то уравнение называется линейным однородным (д. у. с разделяющимися переменными).

Уравнение (нелинейное) вида , где , называется уравнением Бернулли. Данные уравнения можно интегрировать методом Бернулли, т.е. с помощью подстановки , где , – неизвестные функции.

Пример

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Полагаем , где , - неизвестные функции, . Подставляя и в исходное уравнение, имеем .

1) Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, т.е. , откуда . После интегрирования получаем (постоянную интегрирования берем равной нулю).

2) Для определения функции имеем или , т.е. , откуда .

3) Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

4) Используя начальное условие, вычисляем значение постоянной :

, т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение , где и линейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения .

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни и действительные и различные
Корни = = действительные и одинаковые
Корни комплексные ,

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни , действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид: .

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где . (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид , где – частное решение этого уравнения, – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .

Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части :

Правая часть	Частное решение
– многочлен степени	, где – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
	, где – число, показывающее, сколько раз = является корнем характеристического уравнения.
	, где – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с .
	где – число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение . Найдем корни последнего уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (), то частное решение ищем в виде , где и – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства , , находим , . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

2. Пусть правая часть имеет вид , где – многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , а – число, показывающее, сколько раз является корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения . Тогда частное решение ищем в виде , где – неизвестный коэффициент. Дифференцируя дважды и подставляя , и в исходное уравнение, находим . Откуда , то есть или .

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение .

3. Пусть правая часть имеет вид , где и – данные числа. Тогда частное решение можно искать в виде , где и – неизвестные коэффициенты, а – число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с . Если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводить обе функции.