Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарным
Дано: некомпланарные векторы и , произвольный вектор .
Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами и . Из точки Р проведем прямую , параллельно направлению . – точка пересечения плоскости и прямой. Векторы и по построению коллинеарны, значит имеем: . Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: . Вектор мы нашли. Вектор , согласно построению, лежит в плоскости векторов и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: .
Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три некомпланарных вектора:
Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. . Имеем систему:
|
|
Вычтем из первого уравнения второе:
Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: , , .
Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.
Домашнее задание
1. в параллелепипеде точка М принадлежит ребру AD, причем АМ:MD=1:3. Точка Р принадлежит ребру DC, . Разложите вектор по векторам