2020-06-08
990
Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарным
Дано: некомпланарные векторы 
и 
, произвольный вектор 
.
Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами 
и 
. Из точки Р проведем прямую 
, параллельно направлению . 
– точка пересечения плоскости и прямой. Векторы 
и по построению коллинеарны, значит имеем: 
. Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: 
. Вектор 
мы нашли. Вектор 
, согласно построению, лежит в плоскости векторов и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: 
.
Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три некомпланарных вектора: 
Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (
), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. 
. Имеем систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: 
, 
, 
.
Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.
Домашнее задание
1. в параллелепипеде 
точка М принадлежит ребру AD, причем АМ:MD=1:3. Точка Р принадлежит ребру DC, 
. Разложите вектор 
по векторам 
