Общая схема исследования функции и построение ее графика

Правило для нахождения промежутков монотонности функции.

1. Найти первую производную функции .

2. Найти нули и точки разрыва .

3. На числовой прямой изобразить нули первой производной.

4. Определить знак в промежутках, на которые разбита область определения точками из п.2

5. На интервале, где >0 – функция возрастает,

На интервале, где <0 – функция убывает.

 

2. Правило для нахождения экстремумов функции.

Точками экстремума называются точки максимума и минимума.

 

1. Найти первую производную функции .

2. Найти нули и точки разрыва . Это и есть точки, подозрительные на экстремум.

3. На числовой прямой изобразить эти точки.

4. Определить знак в промежутках, на которые разбита область определения точками из п.2

5. Если при переходе через точку экстремума знак производной  меняется с «+» на «-», то в данной точке max.

Если при переходе через точку экстремума знак производной  меняется с «-» на «+», то в данной точке min.

 

Правило для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Точками перегиба графика функции называются точки, отделяющие участок выпуклости от участка вогнутости.

 

1. Найти первую производную.

2. Найти вторую производную.

3. Найти нули второй производной и точки ее разрыва.

4. На числовой прямой изобразить нули второй производной.

5. Определить знак в промежутках, на которые разбита область определения точками из п.3.

6. Если <0, то на данном промежутке функция выпукла, если >0, то на этом промежутке функция вогнута.

7. Если при переходе через критическую точку вторая производная  меняет знак, то данная точка – тока перегиба функции.

 

Общая схема исследования функции и построение ее графика

 

1. Найти область определения функции.

2. Определить периодичность функции.

3. Определить четность, нечетность функции. Функция является четной, если выполняется условие: f(x)=f(-x),

является нечетной, если выполняется условие f(-x)=-f(x),

4. Найти промежутки знакопостоянства функции.

Для этого найти нули функции . На числовой прямой обозначить полученные точки и найти знаки функции в каждом из полученных интервалов.

5. Найти промежутки монотонности функции (возрастание, убывание) – см.правило 1

6. Найти экстремумы функции (максимумы, минимумы) - см.правило 2

7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции - см.правило 3

8. Найти точки перегиба графика - см.правило 3

9. Используя полученные данные, построить график функции.