Задача про касательную к графику функции

Задача про мгновенную скорость

Пусть материальная точка М двигается прямолинейно по закону S=f(t)

В момент времени t₀ она приняла положение М₀ и прошла путь S₀ = f(t₀).

Найдем скорость точки в момент времени t₀.

Допустим, что за произвольно выбранный промежуток времени ∆t, начиная с момента t₀, точка переместилась на расстояние ∆S и приняла положение М₁.

Тогда t₁=t₀+∆t, S₁=S₀+∆S.

За промежуток времени ∆t материальная точка проделала путь:

∆S = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀+∆t)- f(t₀)

Средняя скорость (V_ср.) движения на промежутке М₀М₁:

V_ср. =

Эта величина дает лишь приближенное представление о скорости движения материальной точки на рассмотренном промежутке. Она будет более точной, если промежуток ∆t будет уменьшаться.

Т.о., можно считать, если ∆t→0, то V_ср. →к скорости в момент времени t_0.

О: Мгновенной скоростью точки, которая двигается прямолинейно, в момент времени t₀, называется предел средней скорости при условии, что ∆t→0.

∆t - приращение времени,

∆S - приращение пути.

Итак V_мгн. точки, которая двигается прямолинейно, есть предел отношения приращения пути к приращению времени, при условии ∆t→0.

Пример 1: Точка двигается прямолинейно по закону S(t)=5t²+t+3 (S -путь в м, t-время в секундах). Найти скорость точки: а)в произвольный момент t₀, б) в момент времени t=2с.

Задача про касательную к графику функции

Определение касательной к окружности, данное в курсе геометрии 7-9 кл. нельзя перенести на любые кривые (параболу, гиперболу, синусоиду и т.д.)

1) Ось Оу имеет единственную точку с функцией у=х³,

но она не касательная.

2) Функции у=1 и у=Sinx имеют множество общих точек,

однако прямую у=1 считают касательной.

О: Касательной АТ к графику функции у = f(x) в т.А называется предельное положение секущей АМ, когда т.М, двигаясь по кривой, приближается к т.А

! Не во всякой точке кривой можно провести касательную.

Например:

Если т.М → т.А по левой части кривой, то секущая МА займет место АQ.

Если т.N→ т.А по правой части кривой, секущая NA займет место АТ.

Получаем две разные прямые AQ и АТ => в т. А

к кривой касательной не существует.

Касательная - это прямая, а положение прямой у=kx+b, которая проходит через т.А(х₀;у₀) определяется угловым коэффициентом прямой к=tgα, где α - угол между прямой и положительным направлением оси Ох.