Дисперсия дискретной случайной величины

Группа 2ПСО-40

Тема. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и написать конспект.

2. Записать примеры решения задач.

3. Устно ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить задание письменно.

5. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

6. Выполненные задания сдать до: 20.05

Числовые характеристики ДСВ

Числовыми характеристиками случайной величины называются числа, описывающие случайную величину суммарно. Одной из важных числовых характеристик является математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание приблизительно равно среднему значению случайной величины.

При решении ряда задач достаточно, чтобы было известно математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа попаданий первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем попадает чаще, чем второй.

    Допустим, случайная величина Х может принимать лишь значения , вероятности которых соответственно равны .

В этом случае математическое ожидание случайной величины Х обусловливается следующим равенством:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин есть сумма математических ожиданий слагаемых.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Дисперсия дискретной случайной величины

Нередко бывает необходимым оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Целесообразным считается в таких случаях заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Однако, если возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, то приходиться иметь дело с абсолютными величинами. В свою очередь, это может привести к серьезным затруднениям, поэтому зачастую подсчитывают среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Дисперсия (рассеяние) дискретной случайной величины - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

    Дисперсию можно найти также по формуле:

    Величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины Х.

Пример: Дискретная случайная величина распределена по закону:

X		− 1	0	1	2
P		0,2	0,1	0,3	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х.

Решение:

М(Х) = −1∙ 0,2 + 0 ∙ 0,1 + 1∙ 0,3 + 2 ∙ 0,4 = − 0,2 + 0 + 0,3 + 0,8 = 0,9

М(Х²) = 1∙ 0,2 + 0 ∙ 0,1 + 1∙ 0,3 + 4 ∙ 0,4 = 0,2 + 0 + 0,3 + 1,6 = 2,1

D(Х) = М(Х²) − М²(Х) = 2,1 − (0,9)² = 2,1 − 0,81 = 1,29

s(Х) =  =  » 1,14

Ответ: М(Х) = 0,9; D(Х) = 1,29; s(Х)» 1,14.

    Контрольные вопросы: (устно)

1. Сформулируйте определение математического ожидания ДСВ.

2. Перечислите свойства математического ожидания.

3. В каком случае для характеристики ДСВ недостаточно использовать только математическое ожидание?

 

Домашнее задание:   выполнить письменно

Дискретная случайная величина распределена по закону:

X		− 1	0	1	2
P		0,1	0,2	0,4	0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х.