Расчёт показателей безотказности систем при последовательном, параллельном и смешанном соединении элементов

Для расчёта показателей надёжности таких сложных устройств, каким является подвижной состав, его условно делят на элементы и системы.

Элементом называют часть системы, не имеющую самостоятельного эксплуатационного назначения и выполняющую в системе ограниченные функции. Для практического использования любого элемента его необходимо соединить с другими элементами в определённую систему.

Системой называется совокупность совместно действующих устройств, обеспечивающих выполнение определённых практических задач.

В зависимости от постановки задач принято один и тот же узел рассматривать как элемент или как систему. Например, при оценке надёжности электровоза постоянного тока его рассматривают как систему, состоящую из основных элементов: токоприёмника, быстродействующего выключателя, пусковых резисторов, тяговых двигателей и т.п. Когда же определяют надежность, например, тягового двигателя, который по отношению к электровозу в целом является элементом, его рассматривают как систему, состоящую из основных элементов: якоря, остова, щеточного аппарата, полюсов и т.д. При оценке надёжности якоря тягового двигателя его рассматривают тоже как систему, состоящую из вала, якорной втулки, сердечника, коллектора, секции обмотки и т.д. Аналогичным способом принято рассматривать, например, коллектор как систему, образованную комплектом элементов, включающим в себя набор пластин, коробку, межламельную изоляцию, ряд изоляционных деталей, нажимную шайбу, стяжные болты и т.п.

Благодаря условному делению на элементы и системы можно достаточно просто и с приемлемой для практики точностью построить методику расчета сложных систем. Для этого используют понятие функционального или логического последовательного, параллельного и смешанного соединений элементов в схеме. Следует помнить, что эти термины теории надежности, характеризующие функциональную зависимость элементов в рассматриваемой схеме, отличаются по своему существу от аналогичных понятий, принятых в электротехнике и характеризующих электрическое соединение элементов [1].

Последовательным соединением в теории надежности (таблица 2.1) называют такое, при котором отказ хотя бы одного элемента вызывает отказ всей системы в целом. Таким образом, все  последовательно соединенных элементов должны работать безотказно в течение установленного срока. Это требование можно записать как вероятность одновременной безотказной работы всех элементов

,         (2.1)

где  и  – вероятности безотказной работы системы и -го элемента соответственно.

Если вероятность безотказной работы всех  элементов одинакова то есть , то на основании условия (2.1) вероятность безотказной работы системы .

Вероятность отказа системы  или , где  – вероятность отказа каждого из  элементов.

Так как у элементов ТПС вероятность отказа мала, то можно приближенно принять, что , и, следовательно,

.                         (2.2)

Таким образом, надежность системы, образованной из  последовательно соединенных элементов, всегда ниже надежности наиболее слабого из них.

Напомним еще раз, что понятие «соединение» элементов и узлов с точки зрения надежности отличается от их действительного электрического соединения.

 

Рис. 2.1. Принципиальные электричес­кие схемы соединения элементов и соответствующие им структурные схемы безотказности при отказах типа «короткое замыкание» и

«обрыв цепи»

 

Рассмотрим две системы, состоящие из двух электрически параллельно соединенных диодов и двух последовательно соединённых конденсаторов.

С точки зрения надежности при отказе типа «короткое замыкание» – пробой выпрямителя эти два диода соединены последовательно, то есть при пробое одного из них отказывает вся система. В тоже время по отношению к отказам типа «обрыв цепи» диоды с точки зрения надежности соединены параллельно, так как при отказе одного из двух диодов система продолжает выполнять свои функции, её отказ наступает только при отказе всех диодов. Для системы последовательно соединенных конденсаторов, наоборот, отказ типа «короткое замыкание» с точки зрения безотказности конденсаторы соединены параллельно, а по отношению к отказу «обрыв цепи» – последовательно.

Параллельным соединением элементов в теории надежности называют такое, при котором отказ системы наступает при отказе всех без исключения элементов. Если  элементов соединены параллельно, то согласно этому определению вероятность отказа системы

                                (2.3)

и вероятность безотказной работы

               (2.4)

Если , то  и вероятность отказа системы

                          .                         (2.5)

Таким образом, при параллельном соединении элементов надежность всегда выше надежности самого лучшего элемента.

Пример 2.1. Если в схеме два линейных контактора, вероятность безотказной работы каждого из которых составляет 0,99, соединены с точки зрения надежности параллельно, то вероятность отказа такой системы и вероятность безотказной работы , то есть значительно выше, чем каждого контактора в отдельности. Отсюда следует, что резервирование элементов в схеме есть метод создания надежных систем из недостаточно надежных элементов.

Кроме последовательного и параллельного соединений элементов, в теории надежности используют понятие смешанного соединения элементов, которое представляет одну или несколько комбинаций логического последовательного и параллельного соединений элементов.

                                                                                                                            

В таблице 2.1 приведены формулы, по которым можно рассчитать надежность устройства на основании надежности отдельных элементов при их различных соединениях. Из этой таблицы видно, что надежность системы зависит не только от вероятности безотказной работы каждого элемента и их числа, но и от принятой схемы их функционального (логического) соединения.

 

Таблица 2.1

Логическое соединение элементов	Последовательное	Параллельное
Структура логического соединения элементов
Вероятность безотказной работы  при вероятности безотказной работы -го элемента, равной
То же при равнонадежных элементах

 

Смешанное при резервировании
общем	раздельном

Однако при резервировании элементов на подвижном составе нельзя не считаться с увеличением массы узлов, их габаритов, стоимости изготовления и ремонта, что накладывает существенные ограничения особенно на механические конструкции. Наименее чувствительны к этим ограничениям цепи управления, которые могут иметь для выполнения одних и тех же задач разные варианты схем, отличающиеся не только числом контактов, блокировок, реле и т.п., но и их соединением, т.е. топологией. Поэтому рассмотрим методы определения показателей двух резервированных элементов электрической цепи.

Рассмотрим это положение на примере узла, образованного из двух контакторов, электрически соединенных параллельно (рис. 2.2, а). У каждого из них может наступать отказ в виде обрыва или короткого замыкания. При коротком замыкании одного из них другой также оказывается закороченным, то есть наступает отказ узла в целом. Поэтому с точки зрения надежности при коротком замыкании контакторы следует рассматривать логически соединенными последовательно (отказ одного элемента вызывает отказ всей системы). Если происходит обрыв цепи одного из контакторов, то узел продолжает функционировать за счет работы другого контактора. Узел окажется неработоспособным только в том случае, если обрыв произойдет одновременно в обоих контакторах, с точки зрения надежности это параллельное соединение.

Таким образом, каждому виду отказов соответствует своя расчетная схема, определяемая функциональным (логическим) соединением и их числом.

Если в рассмотренном примере учесть все возможные состояния узла, то определение его надежности будет более трудоемким, так как возможные состояния узла как системы определяются сочетаниями состояний контакторов, представленными в таблице 2.2 с указанием их вероятности.

 

Рис. 2.2. Схема резервирования контакторов и график вероятности безотказной работы схемы

 

Возможные состояния рассматриваемой системы из двух равнонадежных контакторов, составленные на основании таблицы 2.2, приведены в таблице 2.3.

Для определения надежности рассматриваемой системы суммируем вероятности её отдельных состояний (на языке теории вероятностей сумма означает вероятность появления одного или нескольких независимых событий).                                                 

Таблица 2.2

Состояние элемента

№ состояния элемента	Возможное состояние элемента	Вероятность состояния элемента
1	Обрыв
2	Нет обрыва
3	Короткое замыкание
№ состояния элемента	Возможное состояние элемента	Вероятность состояния элемента
4	Нет короткого замыкания
5	Нет ни обрыва, ни короткого замыкания

Таблица 2.3

Состояние системы

№ состояния системы	Возможное состояние системы	Вероятность отказа системы
1	В элементе 1 короткое замыкание, элемент 2 работает
2	В элементе 2 короткое замыкание, элемент 1 работает
3	В обоих элементах короткое замыкание
4	В элементе 1 короткое замыкание, в элементе 2 обрыв
5	В элементе 2 короткое замыкание, в элементе 1 обрыв
6	В обоих элементах обрыв

 

Таким образом, вероятность отказа системы из двух элементов, соединенных электрически параллельно, составит

.

Обозначив вероятность отказа каждого из двух контакторов и относительные вероятности в виде  и , при условии, что , выигрыш от параллельного включения второго элемента составит приближенно

.

Если , дублирование невыгодно, так как , т.е. вероятность отказа системы возрастает по сравнению с вероятностью отказа каждого элемента. В таких случаях, кроме последовательного и параллельного соединения элементов, используют их смешанное соединение, представляющее одну или несколько комбинаций последовательного и параллельного (логического) соединений элементов (рис. 2.2, б). В такой схеме вероятность того, что два последовательно соединенных контактора окажутся замкнутыми, равна , если  – вероятность того, что каждый контактор замкнут именно тогда, когда он и должен быть замкнут. Вероятности  того, что одна из параллельных ветвей разомкнута, когда она должна быть замкнута, составит , что весь узел разомкнут тогда, когда он должен быть замкнут, составит  и, что узел будет замкнут, составит  (рис. 2.2, в).

Вместе с тем цепи контакторов могут иметь отказы типа короткого замыкания. Вероятность того, что рассматриваемый узел окажется короткозамкнутым (например, вследствие сваривания контакторов) в то время, когда он должен быть разомкнутым, составит , если  – вероятность того, что каждый контактор не разомкнется.

Вероятность обрыва цепи узла в то время, когда она должна быть замкнута, , если  – вероятность того, что контактор разомкнут, когда он должен быть замкнутым.

Следовательно, вероятность отказа узла при коротких замыканиях и обрывах , учитывая, что .

Выигрыш в снижении вероятности отказа узла по сравнению с вероятностью отказа одного контактора составит в общем виде

.

Пример 2.2. Так, при  и  имеем , то есть вероятность отказа узла, представленного на рис. 2.2, б в 5 раз меньше вероятности отказа одного контактора при коротком замыкании. И, наоборот, если  и , то , т.е. вероятность отказа этого же узла в  раза меньше вероятности отказа одного контактора при обрыве. Используя, таким образом, смешанное с точки зрения теории надежности соединение элементов, можно значительно повысить работоспособность систем.

При расчете интенсивности отказов системы также учитывают функциональное (логическое) соединение ее элементов. При логическом последовательном соединении  элементов вероятность безотказной работы системы запишем

,(2.6)

где .

Обозначим интенсивность отказов системы через , представим

                                               (2.7)

Приравнивая правые части уравнений (2.6) и (2.7), получим

                      (2.8)

Таким образом, интенсивность отказов системы за время , составленной из  последовательно соединенных (логически) элементов, равна сумме интенсивностей отказов этих элементов за тот же срок. В период нормальной эксплуатации интенсивность внезапных отказов постоянна и, следовательно, .

Для системы справедливо соотношение  и  аналогичное соотношение  и  для элемента: .

Поскольку

                    (2.9)

то

.

Если система состоит из  однотипных элементов, соединенных последовательно, то средняя наработка до отказа

,

то есть убывает обратно пропорционально числу последовательно включенных элементов. При этом вероятность безотказной работы такой системы

                (2.10)

в то время как вероятность безотказной работы одного элемента за то же время будет . Таким образом, вероятность безотказной работы системы меньше вероятности безотказной работы одного элемента в отношении .

Системы, имеющие логическое параллельное соединение своих  элементов, реже встречаются при расчете надежности ТПС. Если вероятность безотказной работы одного элемента , то вероятность отказа системы при  параллельно соединенных однотипных элементах составит на основании выражения (2.5)  и вероятность безотказной работы системы .

Среднее время безотказной работы такой системы (средняя наработка системы до отказа)

.

Так как время безотказной работы одного элемента , то, значит, наработка такой системы всегда больше наработки одного элемента.

На практике чаще всего встречается параллельное соединение 2-х одинаковых элементов, которое называется дублированием или нагруженным резервированием.

При дублировании элементов при

         (2.11)

Средняя наработка дублированной системы до отказа составляет

,

.                             (2.12)

Таким образом, средняя наработка до отказа систем при дублировании элементов в  раза превышает среднюю наработку до отказа каждого элемента.

Формула (2.10) позволяет рассчитать вероятность безотказной работы ТПС в целом в период нормальной эксплуатации, где преобладают внезапные отказы и справедлив экспоненциальный закон надежности. При этом предполагается, что период приработки исключен, то есть элементы узла прошли предварительную тренировку и ненадежные отбракованы, а период усиленного износа исключен за счет своевременного ремонта или замены стареющего элемента.

Пример 2.3. Рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку до отказа системы, имеющей следующую надёжностную схему соединения элементов.

 

 

Дано:

 

Решение:

Oчевидно, что использование в схеме последовательных групп элементов приводит к снижению средней наработки до отказа системы  по сравнению со средней наработкой до отказа одного элемента .