Исследование функции с помощью производной на экстремум

Исследование на монотонность

Проведите касательную в каждой точке, отмеченной на графике функции и обозначьте угол, образованный ею с осью х.

При помощи производной можно устанавливать возрастание (  функции на различных промежутках области её определения.   Рассмотрим графики монотонных функций. Выберем произвольную точку на графике и проведем через неё касательную.

Используя геометрический смысл производной tg α = f `(x)

tg α > 0  f `(x) > 0 f (x) ↑, то f `(x) > 0

tg α < 0 f `(x) < 0 f (x) ↓,  то f `(x) < 0

Наглядное представление позволяет сформулировать утверждения, выражающие необходимые условия возрастания и убывания функции.

Если функция f(x)  дифференцируема и возрастает на промежутке (a,b), то её производная на этом промежутке неотрицательная

Если функция f(x)  дифференцируема и убывает на промежутке (a,b), то её производная на этом промежутке неположительная

Для решения задач особенно важны обратные утверждения, выражающие

достаточное признакивозрастания и убывания функции.

Пусть функция f(x) непрерывна на некотором промежутке, тогда

Если f `(x) > 0во всех внутренних точках промежутка, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Если f `(x) < 0во всех внутренних точках промежутка, то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Алгоритм отыскания промежутков монотонности:

1. Находим область определения

2. Находим производную

3. Решаем неравенство f `(x) > 0, (f `(x) < 0). Решение неравенства выполняется аналитически, графически, методом интервалов.

Исследование функции с помощью производной на экстремум.

Существуют внутренние точки области определения функции, в которых её производная обращается в нуль или её не существует. Касательная в этой точке образует в этой точке с осью х угол 0^о, т.к. параллельна оси х.                              Значит α = 0, tg α = 0, f `(x) = 0

Пусть на промежутке (a,b) задан график непрерывной функции у = f(x)

    Касательные, проводимые в точках х₁, х₂, х₃, х₄ параллельны оси х (α = 0, tg α = 0). Следовательно значение производной в точках х₁, х₂, х₄ равны нулю, ав х₃  не существует.

    Точки х₁, х₂, х₃, х₄ - критические

Рассматривая значения функции в критических точках, замечаем, что в одних точках значения функции меньше по сравнению с её значениями в точках достаточно близких к этим точкам, а в других наоборот, больше.

Точки максимума. Значения х1, х3 – называется точками максимума (max) функции. ОПР. Точка х0 из области определения функции f(x) называется точкой максимума этой функции, что для всех х х0 близких к этой точке выполняется неравенство f(x) < f(x0)

Точки минимума. Значения х2, х4 – называется точками минимума (min) функции. ОПР. Точка х0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума этой функции, что для всех х х0 близких к этой точке выполняется неравенство f(x) > f(x0)

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Значение функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

х₁, х₂, х₃, х₄ - точки экстремума.

f(х₁), f(х₂), f(х₃), f(х₄) – экстремумы функции. 

ОПР.  Значение функции в точках максимума называют максимумом функции.

ОПР.  Значение функции в точках минимума называют минимумом функции.