IV. Тренинг по формулам приведения. Отработка мнемонического правила

Обучающие

• Продолжить овладение системой математических знаний и умений, необходимых для продолжения образования;
• повторить свойства тригонометрических функций, свойства вращательного движения;
• продемонстрировать с помощью визуального дидактического материала основные этапы получения (вывода) формул приведения, опираясь на симметрию вращательного движения;
• «открыть» мнемоническое правило для запоминания формул приведения;
• показать возможность применения формул для упрощения тригонометрических выражений
• Развивающие

• Расширять кругозор и познавательный интерес учащихся;
• создать ситуацию, при которой каждый из учащихся приобщился бы к активной познавательной деятельности;

Воспитательные

• Формировать интерес к изучению математики и смежных дисциплин на материале темы урока;
• Воспитывать культуру математической речи.

III. Примененные технологии урока:

• Информационно-коммуникативные технологии
• Технология гуманитаризации
• Здоровьесберегающие технологии

IV. Тема урока: «Формулы приведения»

Определение: Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов π/2 ­­­±α; π ­­­±α;

3π/2­­­±α; 2π ±α

выражаются через значения ­­sin α, cos ­­α, tg ­­α, ctg ­­α.

Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.

Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов. А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.

Формулы приведения

Формулы приведения необходимы для того, чтобы привести вычисления значений тригонометрических функций для любого аргумента к вычислению тригонометрический функций для аргумента [0; π/2]

Формулы приведения основаны на симметрии вращательного движения (см информационная схема «Свойства вращательного движения»)

1. Докажем, что для любого α

sin (α+2 πk) = sin α, cos (α+2 πk) = cos α, где к принадлежит множеству целых чисел

Информационная схема (свойство 1)

Это свойство выражает периодичность вращательного движения.

Так как точка P_t совпадает на окружности с точкой P_t+2πκ , то их абсциссы и ординаты равны, поэтому равны значения.

sin (t+2 πk) = sin t,

cos (t+2 πk) = cos t

2.  Запишем в координатной форме свойство 3 вращательного движения.

Абсцисса точки P_t+π    cos (t+π)

Абсцисса точки P_t    cos t

Так как точки диаметрально противоположны, их абсциссы отличаются только знаком (противоположные числа). cos (t+π)= - cos t

Ординаты диаметрально противоположных точек тоже являются противоположными числами, поэтому sin (t+π) = - sin t.

3. Запишем в координатной форме свойство 5 вращательного движения.

Так как точки P_{t и} P-_t+π симметричны относительно оси ординат, то их ординаты равны, то есть    sin (- t+π) = sin (π- t) = sin t, а абсциссы – противоположные числа cos (- t+π) = cos (π- t) = - cos t

4. Ранее были получены следующие формулы

sin (π/2 – t) = cos t

cos (π/2 – t) = sin t

Формулы приведения для тангенса и котангенса получаются как следствие полученных формул для синуса и косинуса.

tg (t+2 πk) = tg t ,           ctg (t+2 πk) = ctg t

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.

 

 

 

Задание для учащихся: внимательно просмотрите формулы приведения и заметьте сходство и различия в них.

1.Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: π/2 ­; π ­­; 3π/2­­­; 2π и острого угла α, а в правой части аргумент α.

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило (мнемоника – искусство запоминания).

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы π/2 или 3π/2­­­ -  это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2 π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Для применения формул приведения необходимо помнить правило:

Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется – π или + π, меняется, если добавляются числа ± π/2 или ± 3π/2­­­.

Знак в правой части определяется знаком левой при 0˂ t ˂π/2.

IV. Тренинг по формулам приведения. Отработка мнемонического правила.

Упростите выражение

1) cos (π/2 – α) = sin α

2) sin (π + α)  = - sin α

3) ctg (3π/2­­­ – α) = tg α

4) tg (3π/2­­­ + α) = - ctg α

5) sin (2π – α) = - sin α