Практическое задание необходимо отправить на электронную почту

Таблица производных

 

҆

 

Пример 1

Найти производную функции y=x3−2x2+7x−1

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: y′=(x3−2x2+7x−1)′=(x3)′−(2x2)′+(7x)′−(1)′ =3x2−4x+7

 

Пример 2

Найти производную функции y=sinx − lnx

Решение

По правилу производной разности: y′=(sinx−lnx)′=(sinx)′−(lnx)′= cosx -

 

           

Пример 3

Найти производную функции y=(3x−1)⋅5x

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится  по формуле номер:(u⋅v)′=u′v+uv′ y′=((3x−1)⋅5x)′=(3x−1)′5x+(3x−1)(5x)′= 3ˑ 5х +(3x−1)5=15х+15х-5=30х-5

                                                       

 

Пример 6. Найти производную функции y = cos(3x+1)

Решение Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

 

y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1) (3x+1)' = -sin(3x+1)(3+0) = -3sin(3x+1)

 

Ответ: y' = -3sin(3x+1)

Производная функции в точке..

Для решения многих задач нужно находить производную в конкретной точке х_0.Научимся как это делать. Алгоритм:

1) Сначала найти производную

2)  Подставить в производную вместо х эту заданную точку.

Пример.

 

 

Еще один важный вопрос: геометрический смысл производной.

 

 

Задача. Дана функция y = x ³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x ₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x ₀) · (x − x ₀) + f (x ₀). Точка x ₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x ₀) и f ’(x ₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x ₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x ³)’ = 3 x ²;
Подставляем в производную x ₀ = 2: f ’(x ₀) = f ’(2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12 x − 24 + 8 = 12 x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

 

Еще один важный вопрос: физический или механический  смысл производной.

 

 

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

x(t)= − t⁵+t⁴−t3+5t       

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени t₀=2c

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени t₀=2c.

V =x′(2)

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

x′(t)=− t⁴+4t³−3t²+5     

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим: x′(2)=−24+4⋅23−3⋅22+5=

=−16+32−12+5=9

 Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени t=2с составит 9 м/с..

Ответ: 9 м/с

 

Контроль.

1)Запишите уравнение касательной, проведенной к графику функции

 у = 2х²- 3х+1 в точке с абсциссой х₀=2.

2) Точка движется по закону x(t)= t³+t²−t+2                 

Чему равна скорость в момент времени  t₀= 3 с 

 

Практическое задание необходимо отправить на электронную почту

 до 12-00 01.05.2020г. 

gnn2112@yandex.ru

 По всем вопросам обращаться т 8-983-190-35-44, можно писать на WhatsApp//Viber.