Оценка эксперта: 1 балл

Задача 14 (демонстрационный вариант 2020 г.).

Задание 1

Все рёбра правильной треугольной призмы  имеют длину . Точки  и — середины рёбер  и  соответственно.

а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями  и .

Решение. а) Пусть точка  — середина . Тогда

.

Вместе с тем

,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник  является прямоугольным с прямым углом .

б) Проведём перпендикуляр  к прямой . Тогда  и . Следовательно, . Поэтому  — проекция  на плоскость .

Прямая  перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол  — линейный угол искомого угла.

Длина  равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому . Следовательно, .

Ответ: б) .

 

Задание 2

 

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 6, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой .

Рис. 1 Рис. 2

а) Докажите, что плоскость  параллельна прямой .

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости .

 

Решение.

а) По условию , значит, прямые  и  параллельны. Следовательно, плоскости  и  параллельны (рис. 1).

Поскольку отрезки  и  параллельны, а плоскость  параллельна плоскости , прямая  параллельна плоскости .

б) Поскольку плоскость  параллельна прямой , расстояние от точки  до плоскости  равно расстоянию от прямой  до плоскости . Пусть точки  и  — середины рёбер  и  соответственно. Тогда прямые  и  перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость  перпендикулярна прямой  и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость  пересекает прямые  и  в точках  и  соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию  от точки  до прямой . Высота  пирамиды  лежит в плоскости , откуда

, ; .

Плоскости  и  параллельны, поэтому , откуда

.

Ответ: б) .

 

Пример 1.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

Комментарий.

Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 2.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

 

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 3.

В правильной треугольной призме  сторона  основания равна 6, а боковое ребро  равно 3. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Точка  — середина ребра . Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Ответ: б) .

 

Комментарий.

Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 4.

Основанием четырёхугольной пирамиды  является трапеция , причём . Плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания,  — точка пересечения прямых  и .

а) Докажите, что плоскости  и  перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды  равна 9.

Ответ: б) 12.

Комментарий.

Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 5.

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 6, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём . Плоскость  содержит прямую  и параллельна прямой .

а) Докажите, что плоскость  параллельна прямой .

б) Найдите расстояние от точки  до плоскости .

Ответ: б) .

Комментарий.

Утверждение в пункте а доказано. В решении пункта б есть неточность в решении системы уравнений (выражение С через А), а при применении формулы расстояния от точки до плоскости неверно найден модуль вектора нормали (не относится к вычислительной ошибке).