2020-06-10
60
Задача 16 (демонстрационный вариант 2020 г.).
Задача 1
Две окружности касаются внешним образом в точке 
Прямая 
касается первой окружности в точке 
, а второй — в точке 
Прямая 
пересекает первую окружность в точке 
прямая 
пересекает вторую окружность
в точке 
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение. а) Обозначим центры окружностей 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая
к окружностям в точке 
пересекает в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны,
к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично, получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники 
и подобны, 
. Пусть 
тогда
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции 
равна 
.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к 
перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
:
.
Тогда
.
Следовательно, 
, откуда 
и 
Ответ: 3,2.
Задача 2
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основаниям.
Из точки 
на сторону 
опустили перпендикуляр 
. На стороне отмечена точка 
так, что прямые и 
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение к , если 
.
Решение.
а) Поскольку
 ,
около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1).
Значит,
 ,
то есть прямые и параллельны.
| 
|
б) Опустим из точки  перпендикуляр на прямую (рис. 2). Стороны  и треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны и  , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку
| 
|
коэффициент подобия равен 
. Значит,
.
Ответ: б) 
.
Пример 1.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
Комментарий.
Имеется попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 5) – при вычислении угла 
: 
. Замена угла 
углом 
возможна только при условии параллельности прямых 
и 
, а как раз это и требовалось доказать.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 2.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
Комментарий.
В данном решении есть попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 
– это возможно только при параллельности прямых и , а как раз это и требовалось доказать. Верный ответ в пункте б получен обоснованно с использованием недоказанного утверждения пункта а.
