Оценка эксперта: 2 балла

Задача 18 (демонстрационный вариант 2020 г.).

Задача 1

Найдите все положительные значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение. Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом , а если , то оно задаёт окружность с центром в точке таким же радиусом
(см. рисунок).

При положительных значениях уравнение задаёт окружность с центром в точке радиусом . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и .

Из точки проведём луч и обозначим через и точки его пересечения с окружностью , где лежит между и . Так как
, то .

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

При или окружности и не пересекаются.

При окружности и имеют две общие точки.

При или окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа и .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также и одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: – или взаимного расположения трёх окружностей; – или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальныйбалл	4

Задача 2.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению при условии .

Решим уравнение :

; ; , откуда , или .

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие .

Рассмотрим условия совпадения корней. При имеем .
При имеем . При остальных значениях числа 0,
, различны.

При получаем: при всех значениях .

При получаем: .

Это выражение неотрицательно при .

При получаем: .

Это выражение неотрицательно при .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при

; ; .

Ответ: ; ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток множества значений a, возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии ()	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Задача 3.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если , то получаем уравнение

;

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .

2) Если , то получаем уравнение

; ; .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .

Полученные окружности пересекаются в двух точках и , лежащих на прямой , поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .

При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.

При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая пересекает каждую из дуг и в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.

При прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Пример 1.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

Ответ: ; ; .

Комментарий.

Решение логично, все шаги присутствуют, но при решении неравенства в пункте 2) допущена ошибка вычислительного характера, что соответствует критерию на 2 балла.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение