Методические рекомендации

Подход к натуральному числу как мере величины позволяет обосновывать выбор действий при решении задач с различными величинами.

Действия над натуральными числами и действия над положительными скалярными величинами взаимосвязаны: сложение чисел - со сложением величин, вычитание чисел - с вычитанием величин, умножение отражает переход к новой (более мелкой) единице величины, деление отражает переход к новой (более крупной) единице величины.

В данной теме представлены два типа задач. К первому относятся задачи, решение которых основывается на знании смысла сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, являющихся значениями величин.

Ко второму типу задач относятся те, в которых обоснование выбора действия требует знания смысла отношений «равно», «больше (меньше) на», «больше (меньше) в» для чисел - значений величин.

Для решения задач данной темы необходимо

 

знать: - смысл сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел, являющихся значениями величин; -смысл отношений «равно», «больше (меньше) на», «больше (меньше) в» для чисел - значений величин.

уметь: - обосновывать выбор действий при решении задач, в которых рассматриваются величины, отношения между ними, а также производятся различные операции; - излагать данное обоснование нa языке школьной математики.

Образец выполнения заданий

Задание. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя подход к натуральному числу как мере величины.

Задача I. Наташа собрала в саду 6 кг вишни, а Сережа 8 кг. Всю ягоду разложили в ведра, по 7 килограммов в каждое. Сколько ведер потребовалось?

Решение. Изобразим массу вишни, собранной Haташей, в виде отрезка АВ, а массу вишни, которую собрал Сережа, в виде отрезка ВС продолжение отрезка АВ. Получим отрезок АС.

Так как мера отрезка АС равна сумме мер его частей, то массу всей собранной вишни находим, сложив 6кг и 8 кг: 6 кг + 8 кг = 14 кг. В задаче рассматриваются две единицы измерения массы вишни - килограммы и ведра. Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы вишни в ведрах, т.е. в новой (более крупной) единице, И известно, что в новой (ведре) содержится семь старых (килограммов), то задача решается делением: 14 кг: 7 кг = 2. Потребуется два ведра.

Задача 2. Ручка стоит 2 рубля, a тетрадь в 4 раза дороже. Сколько рублей стоит тетрадь?

Решение. В задаче рассматриваются цена ручки и цена тетради, причем численное значение первой величины известно, a численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой. Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи, то можно сказать, что цена тетради складывается из четырех цен по 2 рубля, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 2 на 4. Найдя значение выражения 2 х 4, получим ответ на вопрос задачи. Тетрадь стоит 8 рублей.

 

Тема «Запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними» 

Методические рекомендации

Натуральные числа можно записывать не только в десятичной системе счисления, но и в любой позиционной системе счисления с основанием р ≥ 2. При этом запись числа, сравнение натуральных чисел и действия над ними в позиционных системах счисления, отличных от десятичной, выполняются по правилам, аналогичным тем, что приняты в десятичной системе счисления.

Среди различных задач данной темы выделены два вида. К первому относятся задания, в которых проверяются знания студентов об алгоритмах действий с многозначными числами в десятичной системе счисления и умение обосновывать эти алгоритмы.

Ко второму виду относятся те задания, которые связаны с выполнением действий над натуральными числами в различных позиционных системах счисления. В процессе проверки правильности решения задания нужно воспользоваться правилом перехода от записи числа в системе счисления с основанием p (p ≠ 10) к записи в десятичной системе счис л ения, и наоборот.

Для решения задач данной темы необходимо:

 

знать: - запись числа х в системе счисления с основанием р; - переход от записи числа в системе счисления с основанием р (р # 10) к записи в десятичной системе счисления, и наоборот; - правила выполнения действий в позиционных системах счисления с основанием р.

уметь: - записывать число в любой позиционной системе счисления; - переходить от записи числа с основанием р (р # 10) к записи в десятичной системе счисления‚ и наоборот; - выполнять действия над числами в позиционных системах счисления.