Методические рекомендации

Культура вычислений, необходимая учителю начальных классов, предполагает знание некоторых вопросов теории делимости целых неотрицательных чисел и умение их применять на практике.

В данной теме представлены задачи различных типов. К первому типу относятся задания включающие две части, где в первой части, не производя указанных действий над числами, нужно установить, делится ли на данное число значение выражения, во второй части, требуется найти все числа определенного вида, кратные заданному числу. При их решении используются признаки делимости, а также теоремы о делимости суммы, разности и произведения, запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Ко второму типу относится задание, в котором требуется найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел, используя различные способы их нахождения.

Умение определить, простое число или составное, является необходимым при решении некоторых математических задач. В третий тип заданий по данной теме, включены задачи на использование алгоритма распознавания простых чисел, `который позволяет ускорить процесс выявления простых чисел из некоторого множества.

Утверждения о делимости натуральных чисел можно доказывать различными методами. К четвертому типу заданий относятся задания на доказательство утверждений о делимости натуральных чисел методами математической и полной индукции.

Доказательство методом математической индукции утверждения А(n) о натуральных числах состоит из двух частей:

1) доказывают, что утверждение А(n) истинно для n=1, т.е. истинно высказывание А(1);

2) предполагают, что утверждение A(n) истинно для n = k; исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(п) истинно для n = k+1, т.е. что истинно высказывание А(k) => А(k+1), где k — произвольное натуральное число.

Если А(1) и (A(k)=>A(k + 1)) - истинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение A(n) истинно для любого натурального числа n.

Метод рассуждений, ведущий от частных случаев к общему выводу, называется индукцией. Полная индукция - это способ доказательства, при котором истинность утверждения общего характера следует из истинности его во всех частных случаях. Метод полной индукции используется для доказательства утверждений о делимости натуральных чисел. Так как множество натуральных чисел бесконечно, то доказательство проводят следующим образом: множество N разбивают на конечное число подмножеств и доказывают, что при любом х из каждого подмножества разбиения данное утверждение истинно. И на этом основании заключают‚ что оно истинно для любого натурального числа.

Для решения заданий данной темы необходимо: