Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции. Перевод целых чисел

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ_ 4

1 Системы счисления 5

1.1 Основные понятия систем счисления 5

1.2 Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции. Перевод целых чисел_ 7

1.3 Основные арифметические операции в системах счисления 9

2 Постановка задачи_ 13

3 Алгоритм решения задачи_ 14

4 Ход решения задачи_ 19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ_ 27

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ_ 28

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы_ 29

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы все основные параметры компьютерной техники ежегодно вырастали в среднем в 4 раза (т.е. в 1000 раз за 5 лет). Ясно, что их экспоненциальный рост не может продолжаться бесконечно (в частности, этому препятствует атомное строение вещества). Как только он прекратится, производители компьютерной техники начнут искать новые пути ее усовершенствования. И тогда они вынуждены будут отказаться от двоичной системы счисления в пользу информационных. Таким образом, данное исследование позволило успешно провести анализ систем счисления, выявить их достоинства, разработать соответствующие алгоритмы. Удалось достичь поставленных целей с помощью намеченных методов. Были объединены данные из разных источников в один информационный ресурс. Было разработано программное обеспечение, позволяющее продемонстрировать практические аспекты материала, изложенного в данной работе.

Особая актуальность изучения систем счисления связана с тем, что в будущем вполне может произойти так называемый информационный переворот, связанный с разработкой компьютеров, основанных на информационной ССЧ.

 

Системы счисления

Основные понятия систем счисления

Система счисления - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Позиционные с/с – с/с, в которых величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Непозиционные с/с - с/с, в которых вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе.

Числа с фиксированной запятой (точкой) – естественная форма представления. Все числа представляются в виде последовательности с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Нормальная форма – числа с плавающей запятой (точкой).

Основание с/с - количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Двоичная система счисления (двоичный код) – код, в котором для представления информации используются цепочки бит. Для представления целых чисел используются: прямой код – знак кодируется нулем для положительных и единицей для отрицательных: 510= 0 000101; 510= 1 000101; обратный код (или дополнительный – дополненный до единицы) для положительных чисел совпадает с прямым кодом, а для отрицательных получается из соответствующего прямого путем поразрядного обращения каждого бита, кроме знакового: 5=1 111010. Данный код позволяет унифицировать сложение и вычитание с оговоркой, что если при суммировании чисел в обратном коде длина результата превысит стандартную длину цепочки, то происходит циклический перенос старшего разряда в младший, например: (+5) + (3)=0000101+1111100=1 "0000001"= "0000010"=210. Для умножения и деления обратный код менее удобен, чем прямой. В основном обратный код нужен для получения дополнительного. 9 Дополнительный код (или дополнение до двух) для положительных чисел совпадает с прямым, а для отрицательных чисел получается из обратного кода сложением с 1. Например: 5=1 111011. Преимущества дополнительного кода перед обратным кодом является упрощение суммирования, т.к. не возникает необходимости в циклическом переносе из старшего разряда в младший.

Представление символьной информации. Множество символов, с помощью которых записывается текст, называется алфавитом. Число символов в алфавите – это его мощность. Формула определения количества информации: N = 2b, где N – мощность алфавита (количество символов), b – количество бит (информационный вес символа). В алфавит мощностью 256 символов можно поместить практически все необходимые символы. Такой алфавит называется достаточным. Т.к. 256 = 28, то вес 1 символа – 8 бит. Единице измерения 8 бит присвоили название 1 байт: 1 байт = 8 бит. Двоичный код каждого символа в компьютерном тексте занимает 1 байт памяти. Для разных типов ЭВМ используются различные таблицы кодировки. Международным стандартом для ЭВМ стала таблица ASCII (читается аски) (Американский стандартный код для информационного обмена). Таблица кодов ASCII делится на две части. Международным стандартом является лишь первая половина таблицы, т.е. символы с номерами от 0 (00000000), до 127 (01111111). К сожалению, в настоящее время существуют пять различных кодировок кириллицы (КОИ8-Р, Windows, MS-DOS, Macintosh и ISO). Из-за этого часто возникают проблемы с переносом русского текста с одного компьютера на другой, из одной программной системы в другую. Компьютеры фирмы Apple, работающие под управлением операционной системы Mac OS, используют свою собственную кодировку Mac. Кроме того, Международная организация по стандартизации (International Standards Organization, ISO) утвердила в качестве стандарта для русского языка еще одну кодировку под названием ISO 8859-5. Наиболее распространенной в настоящее время является кодировка Microsoft Windows, обозначаемая сокращением CP1251.

Перевод из одной системы счисления в другую и простейшие арифметические операции. Перевод целых чисел

Пусть Aц- целое десятичное число. Тогда в его разложении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами, и его можно представить в виде:

Aц=an-1*2n-1+an-2*2n-2+...+a0*20

 

Разделим число Aц на 2. Частное будет равно

an-1*2n-2+...+a1

а остаток равен a0

Полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1

Если продолжить процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр

a0, a1, a2..., an-1

которые входят в двоичное представление числа Aц и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на 2. Но мы их получили в порядке, обратном порядку расположения числа Aц:

Aц=an-1an-2...a1a0

 

 

 

Восьмеричная ССЧ тоже часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Её появление связано с тем, что хранить числа в двоичной ССЧ - слишком громоздко, а в десятичной – неудобно. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная ССЧ широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. А в стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями). Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему. [9] Интересно, что существует уравновешенная шестнадцатеричная ССЧ. Она использует по девять цифр в обе стороны от нуля. То есть, одна и та же цифра может быть записана с плюсом, либо с минусом. Так как запись знаков внутри цифр достаточно неудобна, то плюс при положительных цифрах не пишут вообще, а отрицательные цифры вместо минуса надчеркивают. При таком подходе таблицы сложения и умножения в этой системе счисления повторяют те же таблицы для обычной десятичной системы, но с учетом знаков цифр (в частности, сложение заменяется вычитанием, а при умножении знак произведения зависит от четности числа отрицательных множителей). Двух таких цифр из такой ССЧ достаточно для указания 360 направлений, измеряемых целым числом градусов

Следует упомянуть о представлении чисел в электронных арифметических устройствах. Здесь используется так называемый формат с фиксированной запятой. Любое число представляется в виде мантиссы и порядка. Особенностью данной записи является то, что абсолютная величина числа при этом не превосходит максимальной величины своего разряда. Например, константа элементарного заряда записывается так:

Здесь, то, что перед символом “E” – мантисса, “Е” расшифровывается как “exponent” и обозначает “…умножить на 10 в степени…”, после “E” – порядок.

Таблицы переводов. Двоичная – восьмеричная

0	1	2	3	4	5	6	7
0	1	10	11	100	101	110	111

 

Двоичная – шестнадцатеричная

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111