Вывод формулы для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого сечения

Теория кручения брусьев круглого или кольцевого сечения основана на следующих положениях:

1. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения вала, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации. Они лишь поворачиваются вокруг оси вала.

2. Радиусы, проведенные в сечении, остаются прямыми и не изменяют своей длины.

3. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформаций остаются постоянными.

Уравнение равновесия при кручении (рис. 6.1) имеет следующий вид:

, (6.1)

где t – касательное напряжение, возникающее в поперечном сечении вала.

Рис. 6.1

r + d r

Рис. 6.2

Выделим из окружности в поперечном сечении вала бесконечно-малый элемент и рассмотрим его деформацию. При этом элемент определяется двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстояние друг от друга. Из него выделяется двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами и элементарное кольцо (рис. 6.2).

Выделим из кольца элемент двумя плоскими сечениями, проходящими через ось и образующими между собой угол (рис. 6.3).

Рис. 6.3

d a

d r

Рис. 6.4

d a

d j

Правое торцевое сечение поворачивается относительно левого на угол , а образующая поворачивается на угол , если считать началом отсчета (рис. 6.4).

Согласно схеме деформаций:

; (6.2)

. (6.3)

Приравняем уравнения (6.2) и (6.3):

;

, (6.4)

где – называется относительным углом закручивания двух смежных сечений. Эта величина аналогична относительному удлинению при растяжении-сжатии .

Элемент работает в условиях чистого сдвига, а закон Гука при чистом сдвиге имеет вид

, (6.5)

где модуль сдвига (характеристика материала вала).

Подставим выражение (6.4) в (6.5):

. (6.6)

Подставим выражение (6.6) в (6.1):

; (6.7)

или

. (6.8)

Подставим (6.8) в (6.6):

. (6.9)

В поперечных сечениях вала при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром тяжести сечения. Значение этого напряжения прямо пропорционально расстоянию до центра тяжести. Следовательно, в центре, при , касательные напряжения равны нулю, а в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности вала, они максимальны. График изменения касательных напряжений, вдоль какого-либо диаметра носит линейный характер (рис. 6.5).

Рис.6.5

Наибольшее напряжение в непосредственной близости от наружной поверхности вала можно получить путем подстановки в выражение (6.9) вместо величины расстояние :