2020-07-12
210
Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера дают возможность установить напряженное состояние неподвижной жидкости. Для движущейся жидкости необходимо получить связь действующих на нее сил не только с напряжениями, но и со скоростями. В теоретической механике известен способ использования уравнений статики для описания движения тел – принцип Даламбера. В соответствии с ним в исходные уравнения равновесия нужно ввести силы инерции.
.
Все величины в уравнениях отнесены к массе жидкой частицы и имеют размерность ускорения. Поэтому и сила инерции должна быть также отнесена к массе частицы. Тогда она численно равно ускорению движения:
.
Проекции удельной силы инерции на соответствующие оси выражаются через компоненты скорости следующим образом:
; 
и 
.
Согласно принципу Даламбера, уравнения движения получают вид:
;
;
.
Эти уравнения справедливы для невязкой жидкости, так как при выводе исходных зависимостей не были учтены касательные напряжения.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАВЬЕ – СТОКСА
|
|
|
В реальных (вязких) жидкостях при движении обязательно появляются касательные напряжения трения, значение которых определяется законом вязкого трения Ньютона. Силы трения можно ввести в уравнение движения жидкости, отнеся их, как и все остальные слагаемые к массе жидкости. В итоге получаются дифференциальные уравнения движения жидкости Навье – Стокса (при ρ=const):
;
;
, (9.5)
где v – кинематическая вязкость.
Решение уравнений Навье – Стокса является гораздо более сложной задачей, чем решение уравнений Эйлера. Отметим также, что система (9.5) является замкнутой.
