Нахождение нулей числителя и знаменателя

Практическое занятие № 88 на тему: «Решение неравенств методом интервалов»

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, > или ≥). Здесь f(x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

· произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х;

· произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

(x+3)·(x²−x+1)·(x+2)3≥0,

(x-2)·(x+5)x+3>0,

(x−5)·(x+5)≤0,

(x²+2·x+7)·(x-1)2(x²-7)5·(x-1)·(x-3)7≤0.

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

· находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;

· определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;

· определяем знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;

· наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки < или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥, то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком «+».

Чертеж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать масштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с несокращенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a, b), на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞).

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x-5x+1>0. Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞).

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (−∞, −1). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t<−1, и так как −1<5, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5.

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t+1<0 и t−5<0. Это значит, что t+1 и t−5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке (−∞, −1).

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t-5t+1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x-5x+1 будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1). Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак «+».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь . Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x·(x−0,6)=0 и х⁷·(x²+2·x+7)²·(x+5)³=0.

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0, что дает нам два корня 0 и 0,6. Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x⁷=0, (x²+2·x+7)²=0, (x+5)³=0. Проводим ряд преобразований и получаем x=0, x²+2·x+7=0, x+5=0. Корень первого уравнения 0, у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения -5. Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.