Погрешности измерений

Общие сведения

Погрешностью называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

В электроизмерениях различают несколько видов погрешностей, которые можно подразделить на две большие группы: основные и дополнительные.

Основная погрешность определяется при нормальных условиях работы измерительного прибора, т.е. при определенных температуре, влажности окружающей среды, давлении, частоте, форме и значении питающего напряжения, а так же при его рабочем положении (для электромеханических приборов).

Дополнительная погрешность появляется при отклонении величин, влияющих на результат измерения, от нормальных значений.

Нормальные условия работы для измерительных приборов следующие:

● температура (20±5) ºС;

● относительная влажность (60 ± 15) %;

● атмосферное давление (750±30) мм. рт. ст.

При работе прибора от сети переменного тока напряжение питания может отличаться от нормального (номинального) значения не боле чем на ±10% (198…242 В) при частоте (50±1) Гц.

Основная погрешность включает в себя систематическую и случайную составляющие.

Систематическая погрешность при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же прибором остается постоянной или изменяется по определенному закону. Она легко обнаруживается и может быть исключена из результата измерений.

Приведем практические рекомендации по уменьшению систематической погрешности:

● предварительная (перед измерением) установка на нуль стрелки индикатора в аналоговых электромеханических приборах, которая осуществляется механическим корректором, выведенным под шлиц в нижней части индикатора, а в цифровых и аналоговых электронных приборах - специальным регулировочным потенциометром, выведенным на лицевую панель прибора и обозначенным символом ►0◄ или надписью «Уст.0». Причем механическая установка нуля выполняется при выключенном приборе, а электронная – при включенном приборе и закороченном входе;

● предварительная (перед измерением) калибровка прибора. Регулировочный потенциометр обычно имеют только электронные приборы и далеко не все. Такой потенциометр чаще всего выведен на лицевую панель и обозначен символом ▼ или надписью «Калибр». Прибор при этом должен быть выключен;

● введение поправки (с).

Случайная погрешность при повторных измерениях изменяется случайным образом. Она резко выделяется на фоне систематической погрешности, возникает часто в результате оплошности оператора (ошибочных отсчета или записи показаний, влияния природных или техногенных факторов и др.).

Основным способом уменьшения случайной погрешности является обработка результатов измерений методами статистики и теории вероятности.

Измерения классифицируется по определенным признакам, например по способу получения результата измерения. Они подразделяются на прямые и косвенные.

При прямых измерениях искомая величина определяется непосредственно прибором: ток – амперметром, напряжение – вольтметром и т.д.

При косвенных измерениях искомая величина определяется посредством выполнения определенных математических действием с использованием результатов измерений, например измерения частоты осциллографом.

Специалисту необходимо уметь быстро уверенно оценивать погрешность того или иного измерения, наиболее часто встречающегося по роду его профессиональной деятельности, поэтому далее рассмотрим качественную оценку систематической погрешности прямых и косвенных измерений.

Абсолютная погрешность измерения

∆= │А_и - А│ (2.1)

Так как абсолютная погрешность не дает представления о точности измерения, используют относительную действительную погрешность измерения (или установки) параметра, %

γ_д ⁼ ∆ ∙100/ А                                                 (2.2)

 

γ_пр = ∆_max ∙100/ А _ном                                              (2.3)

Для пояснения приведенных далее практических выводов пользователю проанализируем формулы (2.2) и (2.3), построив для примера графики зависимостей γ_д и γ_пр от показания прибора (положения стрелки) с односторонней шкалой (рис.2.1).

Рис. 2.1. График зависимостей γ_д и γ_пр от положения стрелки

измерительного прибора с односторонней шкалой.

 

Поделив шкалу прибора (от нуля до А_ном) на четыре четверти I…IV, видим, что γ_д максимальна в четверти I шкалы прибора и минимальна в четверти IV. На основании этого утверждения можно сделать следующие практические выводы для оператора.

1. Для получения наименьшей погрешности измерения γ_д необходимо использовать четверть IV или III шкалы прибора и не выполнять измерения, если его стрелка находится в четверти II, а тем более I.

2. Относительная приведенная погрешность γ_пр не зависит от показаний прибора.

На основании второго вывода ГОСТ 8.401 – 80 определяет девять классов точности приборов: 0,02; 0,05; 0,1; 0, 2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5;4,0.

В приборах самого высокого первого класса точности γ_пр = 0,02%, а в приборах самого низкого девятого класса точности γ_пр = 4%.

Класс точности всегда указывается на лицевой панели прибора соответствующей цифрой без знака процентов.

Если в формулу (2.2) подставить абсолютную погрешность, определенную из выражения (2.3), получим формулу, связывающую γ_д и γ_пр :

 

γ_д = γ_пр ∙А_ном/А                                                (2.4.).

 

Значение абсолютной или относительной погрешности приводится в техническом паспорте в виде конкретной цифры или формулы.

Погрешности косвенных измерений определяются по следующей формуле:

γ_д=│ k₁ ● γ_д1│+ │ k₂ ● γ_д2 │+ …+│ k₁ ●γ_дп│, (2.5)

где к ₁, к ₂, …, к_n – показатели степени (как известно, они могут быть положительными и отрицательными, целыми и дробными);

γ_д1, γ_д2,… γ_дп - относительные действительные погрешности результатов прямых измерений.

Необходимо отметить, что относительная действительная и приведенная погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными.

На практике формула (2.5) чаще всего ограничивается двумя слагаемыми.

Косвенные измерения основываются на использовании следующих известных зависимостей:

U= I¹R¹, k₁=1, k₂ = 1;

I=U/R=U¹R^-1, k₁=1, k₂= -1;

R= U/I=U¹I^-1, k₁=1, k₂ = -1;

P = U¹I¹, k₁=1, k₂ = 1;

P= U²/R =U²R^-1, k₁=1, k₂= -1;

P= I²R=I²R¹, k₁=1, k₂ = 1;

Точность и относительная погрешность измерений связаны между собой обратной зависимостью: v=1/ γ_д.

1. Примеры решения задач

Пример 2.1. Измерены два значения напряжения 50 и 400 В вольтметром с номинальным значением 400 В с одной и той же абсолютной погрешностью 1В. Требуется определить какого из указанных значений напряжения погрешность измерения меньше.

Решение. При определении погрешности измерений необходимо правильно ввести обозначения исходных данных.

Так как измерение напряжений выполняется рабочим вольтметром, в данной задаче

U₁= 50 B, U₂= 400 B, ∆₁ = ∆₂ = 1B.

Вид шкалы вольтметра в условии не указан, следовательно, используется прибор с односторонней шкалой, у которого A_min = 0, A_max= 400 B, поэтому

u_ном= 400В.

Погрешность измерения определяем по формуле(2.2):

γ_д1 = ∆/U_д1100 = 1В/50B 100%= 2%.

γ_д2 = ∆/U_д2100 = 1 B/400B 100% = 0,25%.

Отличие погрешностей измерения одним и тем же вольтметром напряжения 50 В и 400 В в 8 раз объясняется с помощью рис.2.1, т.е.при измерении U₁ = 50 B стрелка индикатора вольтметра будет находиться в первой четверти шкалы (рис.2.2. а), а при измерении U₂ = 400 B – в четвертой четверти (рис.2.2,б).

 

Рис 2.2. Положения стрелки вольтметра

при измерении напряжений 50В (а) и 400 В (б)

Пример 2.2. В результате калибровки вольтметра магнитоэлектрической системы со шкалой 0...50 В и шагом шкалы 10 В получены следующие показания образцового вольтметра

U,B

0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

U_и

0,2

10,2

19,9

30,3

39,5

50,9

Требуется определить относительную приведенную погрешность измерения и назначить класс точности прибора.

Решение. Для определения γ_пр используем формулу (2.3).

Максимальная абсолютная погрешность измерения ∆_max =50,9 - 50= 0,9 В, номинальное напряжение U_ном =50 – 0 = 50 В, тогда γ_пр = 100%*0,9 В/50В = 1,8%

Полученное значение не попадает в существующие классы точности прибора, поэтому присваиваем данному вольтметру ближайший больший класс точности - 2,5%.

Следует отметить, что класс точности прибора, определяя приведенную погрешность, не является непосредственным показателем точности измерений. Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующую задачу.

Пример 2.3. Для измерения тока 4 мА имеются два миллиамперметра: первый- класса точности 1% с верхним пределом 20 мА и второй - класса точности 2,5% с верхним пределом 5 мА. Требуется определить, каким прибором заданный ток можно измерить с меньшей относительной погрешностью.

Решение. Относительные действительные погрешности измерения определяем по формуле (2.4).

γ_д1 = γ_пр1 ● I_ном1/I = 1% ● 20 мА/4мА = 5%

γ_д2 = γ_пр2 ● I_ном2/I = 2,5% ● 5мА/4мА = 3,125%

Следовательно, стрелка второго миллиамперметра (низкого класса точности) при измерении будет находиться в четвёртой четверти шкалы, а стрелка первого миллиамперметра, имеющего класс точности 1% - в первой.

Вывод. Выбираем второй миллиамперметр (более низкого класса точности, но с меньшим пределом измерения).