double arrow

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ


Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Глава 3. ОРИЕНТИРОВАНИЕ ЛИНИЙ

3.1. Ориентирование. Ориентирующие углы

Ориентировать линию местности - значит определить ее направление. Под направлением линии понимают горизонтальный угол, образованный данной линией и другой, положение которой известно. Линии, положение которых известно или может быть весьма точно определено в любой точке земной поверхности, - меридианы: истинные или географические и магнитные. Горизонтальные углы, определяющие направления линий местности, называются ориентирующими. Это: истинные (географические) и магнитные азимуты и румбы; дирекционные углы и румбы.

3.2. Истинные азимуты и румбы линий местности

Истинным азимутом линии местности в данной точке называется горизонтальный угол А (рис. 2.17), отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северной части истинного (географического) меридиана этой точки до ориентируемой линии. Истинные азимуты принимают значения от 0 до 360˚. В геодезии принято различать прямое и обратное направления линий местности. Так, если KL считать прямым направлением линии, то LK будет обратным направлением той же линии. В соответствии с этим угол А является прямым азимутом линии KL в точке M, а угол А' - обратным. Из рис. 17 видно, что (3.1)




т.е. прямой и обратный азимуты линии в данной точке разнятся на 180˚ . В разных точках Земли меридианы не параллельны между собой, поэтому азимуты одной и той же линии в различных ее точках будут неодинаковы. Так, в точках Мо и М1 линии KL (см. рис. 3.1) истинные меридианы СоЮо и С1Ю1 не параллельны меридиану СЮ точки М. Поэтому азимуты линии KL в точках Мо и М1 равны

- 21-

соответственно Ао и А1. Если провести в этих точках линии С'Ю'΄, параллельные меридиану СЮ точки М, то . Поэтому

(3.2)

(3.3)

где - сближение меридианов - угол между меридианами различных точек местности. Условились, для точек, расположенных к востоку (в точке М1 ) от данной точки (М), считать сближение положительным, а для точек, расположенных к западу от данной точки (в точке Мо), - отрицательным. Азимут линии KL в точке М1 согласно (3.1) будет .

Подставив в эту формулу значение А по (3.2), получим

. (3.4)

Истинные азимуты определяются из астрономических наблюдений.

Рис. 3.1. Истинный азимут линии местности

Во многих случаях при ориентировании линий местности вместо азимутов пользуются румбами.

Истинным румбомлинии местности называется острый горизонтальный угол между ближайшей (северной или южной) частью истинного меридиана в данной точке и этой линией.

- 22 -

Численное значение румба сопровождают названием четверти, в которой находится линия.

На рис. 3.2 показаны истинные



румбы линий во всех четырех

четвертях. Так, линия M-3 имеет

румб ;

линия M-4 имеет румб

.

Из этого же рисунка видно, что

, (3.4)

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Эти формулы позволяют осу-

ществлять переход от азиму-

тов к румбам и обратно. Рис. 3.2. Связь азимутов ирумбов

3.3. Магнитные азимуты и румбы линий местности

Известно, что под влиянием земного магнетизма свободно подвешенная магнитная стрелка устанавливается в плоскости

Рис. 3.3. Магнитные азимуты и румбы

- 23 -

магнитного меридиана данной точки. Это свойство магнитной стрелки позволяет ориентировать относительно нее линии местности.

Магнитным меридианом называется сечение поверхности Земли отвесной плоскостью, проходящей через концы магнитной стрелки, свободно подвешенной в данной точке.

Магнитным азимутом линии местности называется горизонтальный угол, отсчитываемый от северной части магнитного меридиана по ходу часовой стрелки до данной линии. Этот угол принимает значения от 0 до 360˚. Магнитным румбом линии местности называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшей части (северной или южной) магнитного меридиана до данной линии. На рис. 3.3: NS - магнитный меридиан, Аm – магнитный азимут линии KL в точке М, rm - магнитный румб этой линии, СЮ - истинный меридиан точки М, А - истинный азимут линии KL в точке М.

В каждой данной точке магнитный и истинный меридианы образуют между собой угол δ, называемый склонением магнитной стрелки. Северный конец магнитной стрелки может отклоняться от истинного меридиана к востоку или западу. В зависимости от этого различают восточное и западное склонение. Восточное склонение принято считать положительным, западное - отрицательным. Из рис. 3.3 видно, что



. (3.8)

В различных точках Земли склонение магнитной стрелки имеет разную величину, так в пределах территории СНГ величина его колеблется от 0 до ±15˚. Но и в одной и той же точке она постепенно меняется. Различают суточные, годовые и вековые изменения склонений. Вследствие этого ориентирование линий с помощью магнитной стрелки допускается при топографо-геодезических работах, не требующих высокой точности. Форма записи магнитного румба соответствует форме записи истинного румба, включая формулы связи с азимутами.

3.4. Дирекционные углы и румбы линий местности

То обстоятельство, что азимуты линии в разных ее точках неодинаковы, ограничивает их использование для ориентирования геодезических построений, поэтому в большинстве случаев практики для этой цели используют дирекционные углы.

- 24 -

Дирекционным углом линии местности называется горизонтальный угол α, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северной части осевого меридиана зоны или линий ему параллельных до данной линии. Пусть СЮ (см. рис. 3.1) - осевой меридиан зоны, а С'Ю' - линии, ему параллельные; дирекционный угол линии KL в любой ее точке (Mо,M ,M1 и др.) равен α. Следовательно, в отличие от азимута дирекционный угол линии в любой ее точке сохраняет свою величину. Из рис. 3.1 видно, что прямой и обратный дирекционные углы линии разнятся между собой на 180˚, т.е.

. (3.9)

Понятие дирекционного румба rm, форма записи, cвязь с дирекционным углом - полностью соответствуют истинному и магнитному румбам. Для перехода от дирекционного угла α к дирекционному румбу r и обратно применяют формулы связи истинных азимутов Aи румбов. В связи с тем, что дирекционный румб используется широко и часто, слово «дирекционный» в его названии обычно опускают. Зависимость дирекционных углов с истинными и магнитными азимутами видна на рис. 3.1, 3.3 и выражается формулами:

, (3.10)

(3.11)

Средние величины и для территории, изображенной на листе топографической карты, приводятся за южной рамкой в виде текста и специальной диаграммы, показывающей взаимное расположение истинного, магнитного и осевого меридианов.

Приближенно сближение меридианов можно определить из следующих рассуждений. Примем в качестве фигуры относимости шар, равновеликий по объему эллипсоиду Ф.Н. Красовского, с радиусом (рис. 3.4).

На параллели с широтой φвозьмем две точки К и L, линейное расстояние между которыми равно l км. В точках K и L проведем касательные к меридианам этих точек. Эти касательные называются полуденными линиями. Тогда угол γ между касательными представит сближение меридианов точек K и L. Для точек K и L, расположенных в пределах одной зоны, угол γ настолько мал, что расстоянии l можно рассматривать как дугу радиуса KT.

- 25 -

Тогда угол γ, выраженный в радианах, будет

(3.12)

Но

следовательно,

(3.13)

Так как в одном радиане 3438', то сближение меридианов, выраженное в минутах, будет равно

(3.14)

Подставив сюда вместо R его значение, получим

(3.15)

Если , то

, (3.16)

Рис. 3.4.Сближение меридианов

т.е. приближенно сближение меридианов на 1 км (выраженное в минутах) равно половине тангенса широты места.

При определении направлений во многих случаях погрешность в 1'считается допустимой. В таких случаях сближением меридианов на 1 км можно пренебречь, и на этом расстоянии меридианы в соответствующих точках можно рассматривать как параллельные.

3.5. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

Прямая геодезическая задача. В геодезии и маркшейдерском деле часто приходится передавать координаты с одного пункта на другой. Зная исходные координаты XA, YA одного из концов отрезка линии местности AB, длину горизонтального проложения d и дирек-

- 26 -

ционный угол α, азимут A или румб r этой линии можно определить координаты XB, YBдругого конца отрезка ( рис. 3.5).

В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей. Эта задача представляет значительные трудности при решении её для пунктов, расположенных на эллипсоиде; для пунктов на плоскости она решается следующим образом.

; , (3.17)

где ; . (3.18)

- приращения координат по осям абсцисс и ординат соответственно.

Рис. 3.5. Схемы к решению геодезических задач

Обратная геодезическая задача состоит в том, чтобы по известным координатам XA, YA, XB, YBконцов отрезка линии местности AB (см. рис. 3.5) определить длину горизонтального проложения d и направление α этой линии. Если, например, надо проложить по линии АВ просеку через лес или тоннель под проливом, то, рассчитав длину и направление линии, можно уверенно и с необходимой точностью выполнить поставленные задачи. Решение задачи выполняют в такой последовательности.

- 27 -

Вычисляют приращения координати по формулам

, (3.19)

. (3.20)

Находят численное значение румба rAB отрезка AB линии местности

(3.21)

По знакам приращений координат (см. табл. 3.1) определяют название четверти, в которой расположен отрезок линии. От румба переходят к значению дирекционного угла α.

Для контроля правильности вычисленного румба можно воспользо-ваться формулой

(3.22)

Полученный по этой формуле румб должен отличаться от вычисленного по формуле (3.21) ровно на 45˚ .

Таблица 3.1

Связь румбов и дирекционных углов

  Номер четверти   Название четверти Знаки приращений координат   Значения дирекционных углов
Y X
I СВ + +
II ЮВ + -
III ЮЗ - -
IV СЗ - +

Длину горизонтального проложения d линии AB можно получить из прямоугольного треугольника (см. рис. 3.5).

(3.23)

Для контроля dвычисляют по формулам

(3.24)

- 28 -

4.1. Общие сведения об измерениях

Объектом изучения науки Геодезия является планета Земля – ее форма, размеры, внешнее гравитационное поле. Эти характеристики получают из различных измерений, выполняемых на поверхности Земли. Под измерением физической величины X понимают процесс сравнения этой величины с другой, однородной с ней величиной q, принятой в качестве меры - единицы измерения. Например, длину отрезка линии местности сравнивают с единицей линейных измерений - метром; горизонтальный угол, образованный отрезками линий на местности, сравнивают с градусом, градом, радианом.

Измерения различают: прямые; косвенные; равноточные; неравно-точные.

Под прямыми измерениями понимают такие, при которых определяемую величину получают путём непосредственного сравнения (сопоставления) её с единицей измерения или её производной. Например, длина отрезка линии измеряется стальной лентой или горизонтальный угол на местности измеряется теодолитом, а на бумаге транспортиром и т.д.

Косвенными называют измерения, определяемая величина в которых является функцией других непосредственно измеренных

величин. Так, для определения длины окружности или площади круга, необходимо непосредственно измерить радиус окружности.

Равноточными называют измерения, выполненные приборами одного класса точности, специалистами равной квалификации, по одной и той же технологии, в идентичных внешних условиях. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных условий измерения считаются неравноточными.

Результатом измерения l является число, показывающее, во сколько раз определяемая величина больше или меньше величины, с которой её сравнивали, т.е. величины, принятой за единицу измерения. Результаты измерений подразделяют на необходимые и добавочные (или избыточные). Так, если одна и та же величина (длина линии, угол треугольника и т.п.) измерена n раз, то один из результатов измерений является необходимым, а - добавочными. Добавочные измерения имеют весьма важное значение: их сходимость является средством контроля и позволяет судить о качестве результатов измерений; они дают возможность получить наиболее надежное значение искомой величины по сравнению с любым отдельно взятым результатом измерения.

- 29 -

4.2. Погрешности результатов измерений

Результаты многократных измерений одной и той же физической величины (линии, угла, превышения и т.п.), как правило, различаются между собой и не совпадают с точным (истинным) значением измеряемой величины, т.е. содержат неизбежные погрешности, вызываемые различными причинами.

Под погрешностью результата измерения понимают разность между результатом измерения физической величины и точным (истинным) значением этой величины, т.е.

(4.1)

где ; n - число выполненных измерений.

По своим свойствам, характеру возникновения и влияния на результаты измерений, их функции, погрешности подразделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности (промахи) возникают вследствие невнимательности наблюдателя, неисправности прибора, несоблюдении технологии работ, не учёта влияния изменяющихся

внешних условий: температуры, ветра, видимости и т.п. Обнаружить грубые погрешности можно, используя геометрические свойства наблюдаемого объекта (например, сумму внутренних углов плоского многоугольника), а также выполнением повторных измерений. Так, например, при линейных измерениях, пропуск целого пролета, равного длине мерного прибора, можно обнаружить измерением отрезка линии нитяным дальномером, иногда - даже шагами.

К систематическим относят такие погрешности результатов измерений, которые входят в эти результаты по определенному закону. Так, если известна длина меры при температуре , а измерение длины линии местности выполнены при температуре , то результат измерения длины линии будет содержать систематическую погрешность, пропорциональную разности температур и длине линии. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключают или сводят до пренебрегаемо малого значения выбором методики измерений или введением поправок в результаты.

Случайные погрешности результатов измерений характеризуются тем, что при одинаковых условиях измерений они могут меняться по величине и знаку; их нельзя заранее предусмотреть, определить закон воздействия на результат.

- 30 -

Статистический анализ, т.е. анализ результатов больших рядов измерений, позволил для случайных погрешностей выявить ряд их свойств.

Первое свойство. Для данных условий измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела (свойство ограниченности), т.е.

(4.2)

Второе свойство. Равные по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные погрешности равновозможны, т.е. встречаются одинаково часто (свойство симметрии).

Третье свойство. Малые по абсолютной величине случайные погрешности при измерениях встречаются чаще, чем большие (свойство плотности).

Четвертое свойство. Среднее арифметическое из случайных погрешностей и их попарных произведений стремиться к нулю при

неограниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации ), т.е.

; , (4.3)

где ; ; ;

n - число измерений; [ ]- Гауссов символ суммы.

4.3. Задачи теории погрешностей измерений

Как было отмечено выше, в результатах измерений неизбежно содержатся погрешности. Поэтому одной из задач теории погрешностей является изучение видов и свойств погрешностей измерений, причин их возникновения. Далее, выполнив измерения, всегда стремятся определить точность полученных результатов. Поэтому в теории погрешностей измерений устанавливаются критерии для оценки точности результатов измерений. Так как результаты измерений вследствие влияния погрешностей разнятся между собой, то возникает задача отыскания наиболее точного по вероятности значения определяемой величины из результатов многократных ее измерений.

Во многих случаях геодезической практики по результатам измерений вычисляют другие интересующие нас величины. Например, измерив сторону треугольника и два его угла, можно по известным формулам вычислить третий угол и две другие стороны.

- 31 -

В таких случаях результаты вычислений являются функциями измеренных величин. По указанной причине, перед теорией погрешностей возникает задача оценки точности функций измеренных величин.

Перечисленные задачи, которые решаются теорией погрешностей измерений, имеют большое значение для правильной организации, проведения геодезических работ и использования их результатов.

Кроме того, теория погрешностей геодезических измерений позволяет обоснованно выбрать необходимые для измерений приборы и инструменты, рассчитать ожидаемую точность измерений и окончательного результата, правильно выбрать метод обработки результатов измерений.

4.4. Равноточные измерения

4.4.1. Вычисление наиболее точного по вероятности значения

результата измерений одной и той же величины

Пусть некоторая величина, истинное (точное) значение которой

равно X, измерена равно точно n раз и получены результаты этих измерений: Составим разности

(4.4)

где ; истинные случайные погрешности результатов liизмерений, т.е. уклонения результатов измерений от истинного (точного) значения измеряемой величины.

Найдем сумму уравнений (4.4) и разделим ее на число измерений.

. (4.5)

Введем обозначения:

; (4.6)

. (4.7)

Величину называют простой арифметической серединой или средним арифметическим из результатов равноточных измерений.

- 32 -

Выражение - есть истинная случайная погрешность простой арифметической середины, т.е. это уклонение простой арифметической середины от истинного (точного) значения измеряемой величины.

По четвертому свойству случайных погрешностей

, (4.8)

значит . (4.9)

Таким образом, среднее арифметическое из результатов равноточных измерений стремится к истинному (точному) значению измеряемой величины при неограниченном возрастании числа измерений. Величину называют еще вероятнейшим значением измеряемой величины.

4.4.2. Оценка точности результатов ряда равноточных измерений.

В качестве критерия при оценке точности результатов геодезических измерений принята предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле

, (4.10)

где Δ - истинная случайная погрешность результата, n - число измерений.

По величине средней квадратической погрешности можно определить предельную погрешностьΔпред., возможную для данного ряда измерений. В качестве предельной погрешности в геодезии принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность

. (4.11)

Если в ряду случайных погрешностей результатов равноточных измерений встречаются такие, которые по абсолютной величине превышают предельную, то такие погрешности считают грубыми. Измерения, в которых обнаружены эти погрешности, выполняют заново.

В ряде случаев для суждения о точности измерений недостаточно знания лишь абсолютного значения средней квадратической погрешности.

- 33 -

Например, измерены три отрезка линий местности:

L 1 = 240 м с погрешностью m 1 = ± 0,15 м;

L 2 = 600 м с погрешностью m 2 = ± 0,53 м;

L 3 = 500 м с погрешностью m 3 = ± 0,29 м.

Если сравнивать средние квадратические погрешности, то наиболее точно измерен первый отрезок. Однако, здесь следует учитывать и длину измеряемого отрезка, т.е. отнести погрешность к величине длины самого отрезка. В подобных случаях вводят понятие относительной погрешности, под которой понимают отношение абсолютной величины средней квадратической погрешности m к значению результата l измеряемой величины, т.е.

(4.12)

где

Для нашего примера относительные погрешности равны:

Сравнивая дроби, видим, что третье измерение является самым точным. В значении абсолютной величины средней квадратической погрешности и в знаменателе относительной погрешности следует удерживать две - три значащие цифры.

Вероятнейшие погрешности. Формула (4.10) К.Ф. Гаусса для средней квадратической погрешности справедлива в том случае, когда результаты измерений сравниваются с истинным (точным) значением этой величины. В большинстве случаев практики топографо-геодезических и маркшейдерских работ истинное значение измеряемой величины неизвестно и поэтому используют вероятнейшее значение его , определяемое по формуле (4.7). В этом случае среднюю квадратическую погрешность результата отдельного измерения ряда равноточных измерений определяют по вероятнейшим погрешностям.

Пусть- результаты равноточных измерений одной и

- 34 -

той же величины, - простая арифметическая середина.

Составим разности (4.13)

где ; - число измерений;

- вероятнейшие погрешности результатов измерений т.е. уклонения значений каждого результата от простой арифметической середины, от вероятнейшего значения измеряемой величины. Найдём сумму уравнения (4.13) и разделим на их число

(4.14)

но , тогда

(4.15)

т.е. сумма вероятнейших погрешностей результатов равноточных измерений равна нулю при любом числе измерений.

Составим разности уравнений (4.1) и (4.13)

(4.16)

но, - истинная случайная погрешность простой арифметической середины, тогда

(4.17)

Выражение (4.17) есть уравнение связи истинных и вероятнейших погрешностей результатов равноточных измерений.

Возведем уравнения (4.17) в квадрат, сложим и разделим на их число

(4.18)

Но

тогда . (4.19)

- 35 -

Второй член правой части уравнения ( 4.18 ) запишем в виде

, (4.20)

но ; - по четвертому свойству случайных погрешностей.

Уравнение (4.19) с учетом (4.20) примет вид

(4.21)

или . (4.22)

Окончательно

. (4.23)

Выражение (4.23) является формулой Бесселядля средней квадратической погрешности результата отдельного измерения ряда равноточных измерений одной величины.

Практические рекомендации по вычислению простой арифме-тической середины.

1.Выбирают приближенное значение простой арифметической середины, в качестве которого лучше всего взять наименьшее из результатов измерений, т.е.

. (4.24)

2. Находят разности

. (4.25)

3. Вычисляют простую арифметическую середину

. (4.26)

- 36 -

4.4.3. Оценка точности функций измеренных величин

В большинстве случаев практики топографо-геодезических и маркшейдерских работ искомые величины получают в результате вычислений как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты будут содержать погрешности, которые зависят как от погрешностей аргументов (измеренных величин), так и от вида функций. Возникает задача оценки точности функций измеренных аргументов.

Средняя квадратическая погрешность функции общего вида

Дана функция

, (4.27)

где - точные (истинные) значения измеряемых величин.

Пусть в результате измерений получены приближенные значения этих величин.

Тогда (4.28)

- приближенное значение функции .

Составим разность уравнений (4.27) и (4.28)

, (4.29)

которая является истинной случайной погрешностью функции .

Разности , (4.30)

- суть истинные случайные погрешности аргументов ,

Тогда

. (4.31)

Чтобы найти линейную зависимость между погрешностями аргументов и погрешностью функции, продифференцируем функцию (4.28).

, (4.32)

где - частные производные функции по каждому из аргументов. Заменим в выражении (4.32) дифференциалы истинными случайными погрешностями функции и аргументов

. (4.33)

- 37 -

При многократном измерении аргументов, например n раз, получим

, (4.34)

где .

Производные функции по соответствующим аргументам в разных измерениях практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов , в качестве которых можно взять

, т.е. значения аргументов, полученные при первом измерении определяемых величин.

В соответствии с этим можно принять

,

, (4.35)

…………………………………………………

…………………………………………………

.

С учетом (4.35) выражение (4.34) примет вид

(4.36)

Возведем уравнения (4.36) в квадрат, сложим и разделим на их число

- 38 -

(4.37)

На основании (4.3) и (4.10) можно записать

и (4.38)

Выражение (4.37) с учетом (4.38) примет вид

(4.39)

или (4.40)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функции по каждому из аргументов на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

- 39 -

Средняя квадратическая погрешность простой арифметической середины

Формулу (4.7) для простой арифметической середины перепишем в виде

, (4.41)

где - результаты равноточных измерений одной и той же вели-чины; i = 1, 2, 3,..., n; n - число измерений.

На основании (4.39) имеем

,

но , тогда

. (4.42)

Так как измерения равноточные, т.е. .

Средняя квадратическая погрешность простой арифмети-ческой середины в раз меньше средней квадратической погрешности результата каждого отдельного измерения.

Следовательно, выражение (4.42) примет вид

, (4.43)

откуда (4.44)

Сравнивая формулу (4.43) и второй член правой части уравнения (4.21), можно сделать вывод, что

, (4.45)

т.е. истинная случайная погрешность простой арифметической середины равна средней квадратической погрешности простой арифметической середины.

- 40 -

Оценка точности результатов угловых измерений

в триангуляции

Триангуляция - плановая геодезическая сеть, состоящая из треугольников (см. рис. 4.1), в которой измерены все внутренние углы треугольников и одна или несколько сторон - базисов. Вершины треугольников - пункты сети, положение (координаты) которых подлежат определению. Известно, что сумма внутренних углов плоского треугольника равна 180° ,

т.е. , (4.46)

где - истинные (точные) значения углов.

Пусть - результаты измерения этих углов, т.е. приближенные значения углов.

Тогда, согласно (4.1), имеем

,

, (4.47)

- истинные случайные погрешности результатов измерений.

Перепишем равенство (4.46) с учетом формул (4.47)

; (4.48)

; (4.49)

. (4.50)

Обозначим

. (4.51)

ω - называют угловой невязкой в треугольнике, т.е. это истинная случайная погрешность суммы внутренних углов треугольника.

Тогда уравнение (4.50) можно записать в виде

(4.52)

или (4.53)

Пусть равно точно измерены углы в треугольниках, для каждого из которых справедливы равенства (4.51), т.е.

- 41 -

(4.54)

где - номера треугольников.

Возведем уравнения (4.54) в квадрат, сложим и разделим на их число

. (4.55)

На основании (4.3) и (4.10) можно записать

Тогда

(4.56)

где - средние квадратические погрешности результатов измерений углов в каждом из треугольников.

Так как измерения равноточные, т.е. , то

(4.57)

или (4.58)

Это формула Ферреро, по которой обычно выполняется оценка точности результатов измерений горизонтальных углов в триангуляции.

4.4.4. Оценка точности результатов ряда двойных равноточных измерений

Очень часто в практике геодезических и маркшейдерских работ искомую величину определяют по результатам двукратных равноточных измерений этой величины. Например, горизонтальные углы измеряют двумя полуприемами, превышение на станции при геометрическом нивелировании определяется по черным и красным сторонам реек, длины отрезков линий местности находят из результатов измерений этих отрезков в прямом и обратном направлениях.

- 42 -

Возникает задача оценки точности этих результатов. Имеем ряд величин, истинные значения которых равны

. (4 .59)

Пусть каждая из этих величин измерена равно точно дважды и получены результаты:

; (4.60)

, (4.61)

Составим разности между результатами измерений и их истинными значениями:

; (4.62)

, (4.63)

где . Найдем разности уравнений (4.62) и (4.63)

(4.64)

и обозначим . (4.65)

Здесь и - истинные случайные погрешности результатов.

Возведем уравнения (4.65) в квадрат, сложим и разделим на их число

. (4.66)

На основании (4.3) и (4.10) запишем

; ; ,

тогда . (4.67)

Так как измерения равноточные, т.е. , то

- 43 -

, . (4.68)

При двойных равноточных измерениях за окончательное значение принимают среднее арифметическое из результатов отдельных измерений, т.е. ,

тогда или . (4.69)

Формулы (4.68) и (4.69) справедливы лишь в том случае, если разности не содержат систематических погрешностей.

Пусть разности содержат систематическую погрешность , т.е.

. (4.70)

Сложим уравнения (4.70) и разделим на их число

. (4.71)

На основании четвертого свойства случайных погрешностей имеем

, ,

т.е. . (4.72)

Среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений отлично от нуля и численно равно систематической погрешности этих результатов.

Вычтем из каждой разности величину систематической погрешности , т.е. образуем новые разности

. (4.73)

Сложив равенства (4.73) и поделив их на n, получим

- 44 -

, но , тогда

, (4.74)

т.е. среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей, всегда равно нулю.

Разности , как уклонения от простой арифметической середины и обладающие свойством , можно считать вероятнейшими погрешностями разностей . Применяя к ним формулу Бесселя для средней квадратической погрешности, запишем

, (4.75)

а . (4.76)

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из результатов и будет равна

. (4.77)

Вычисление значения числителя подкоренного выражения можно проконтролировать по формуле

. (4.78)

Примечание. Оценку точности по разностям результатов двойных равноточных измерений следует выполнять по формулам (4.68) и (4.69), если разности удовлетворяют условию

, (4.79)

в противном случае, по формулам (4.75) - (4.77).

- 45 -

4.4.5. Примеры оценки точности результатов равноточных измерений одной величины и функций независимо измеренных величин

Задача №1. По результатам равноточных измерений горизон-тального угла девятью приемами (см. табл. 4.1) найти наиболее точное по вероятности значение угла, средние квадратические погрешности измерения каждого отдельного угла и простой арифметической середины.

Вычисления выполняют в следующей последовательности.

1. Выбирают приближенное значение простой арифметической середины как наименьшее из результатов измерений, т.е. В нашем примере это значение равно

2. Вычисляют уклонения результатов измерений от этого приближенного значения и сумму этих уклонений

3. В колонке (4) вычисляют квадраты и их сумму

4. По формуле (4.26) вычисляют простую арифметическую середину - наиболее точное по вероятности значение измеряемого угла.

5. Находят вероятнейшие погрешности как разности результатов отдельных измерений и округленного значения , т.е.

,

их сумму

с контролем ,

где - погрешность округления среднего арифметического.

6. В колонке (6) вычисляют квадраты вероятнейших погрешностей и их сумму

с контролем .

7. По формуле (4.23) Бесселя вычисляют среднюю квадратическую погрешность результата каждого отдельного измерения

- 46 -

.

8. По формуле (4.44) находят среднюю квадратическую погрешность простой арифметической середины

.

9. Окончательный результат записывают в виде

.

Задача №2. В каждом треугольнике микротриангуляции (рис. 4.1) измерено одинаково точно по три внутренних горизонтальных угла (см. табл. 4.1). Вычислить среднюю квадратическую погрешность результатов измерений каждого отдельного угла, применив формулу Ферреро

,

где - угловые невязки в треугольниках, nчисло треугольников.

Рис. 4.1. Схема сети микротриангуляции

- 47 -


Таблица 4.1

Оценка точности результатов измерения отдельного горизонтального угла

Номера приемов i Результаты измерений βi   εi   εi2     Основные формулы, вспомогательные вычисления
5 6
32o 23´ 44" + 4 -0,6" 0,36 1.
-4,6 21,16 2.
+ 3 -1,6 2,56 3.
+ 5 +0,4 0,16
+ 6 +1,4 1,96 4.
+ 3 -1,6 2,56
+ 8 +3,4 11,56 5.
+ 5 +0,4 0,16
32o 23´ 47" + 7 +2,4 5,76 6.
  + 42 -0,4 46,20 7.
β´ β β окр. 32o 23´ 40" 32o2344,56" 32o 23´ 44,6" [ε]2=1681 mβ = ± 2,4" ; M = ± 0,80" Окончательный результат : β = 32º 23´ 44,6" ± 0,80"   Контроль:

Таблица 4.2

Обработка результатов угловых измерений в микротриангуляции







Названия углов Номера треугольников и значения измеренных углов
 
80°07,7’ 74°21,6’ 36°39,2’ 39°17,4’ 69