Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

asinx+bcosx=0asinx+bcosx=0 (однородное уравнение первой степени) или asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на cosx≠0cosx≠0 — для первого случая, и на cos2x≠0cos2x≠0 — для второго. Получим уравнения относительно tg xtg x: a tg x+b=0a tg x+b=0 и a tg2x+b tg x+c=0a tg2x+b tg x+c=0, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: 2sin2x+sinxcosx—cos2x=12sin2x+sinxcosx—cos2x=1.

Решение. Запишем правую часть, как 1=sin2x+cos2x1=sin2x+cos2x:

2sin2x+sinxcosx—cos2x=2sin2x+sinxcosx—cos2x= sin2x+cos2xsin2x+cos2x,

2sin2x+sinxcosx—cos2x−2sin2x+sinxcosx—cos2x- sin2x—cos2x=0sin2x—cos2x=0

sin2x+sinxcosx—2cos2x=0sin2x+sinxcosx—2cos2x=0.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на cos2x≠0cos2x≠0, получим:

sin2xcos2x+sinxcosxcos2x—2cos2xcos2x=0sin2xcos2x+sinxcosxcos2x—2cos2xcos2x=0

tg2x+tgx—2=0tg2x+tgx—2=0. Введем замену tgx=ttgx=t, в результате t2+t—2=0t2+t—2=0. Корни этого уравнения: t1=−2t1=-2 и t2=1t2=1. Тогда:

1. tgx=−2tgx=-2, x1=arctg(−2)+πnx1=arctg(-2)+πn, n∈Zn∈Z
2. tgx=1tgx=1, x=arctg1+πnx=arctg1+πn, x2=π4+πnx2=π4+πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=arctg(−2)+πnx1=arctg(-2)+πn, n∈Zn∈Z, x2=π4+πnx2=π4+πn, n∈Zn∈Z.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: 11sinx—2cosx=1011sinx—2cosx=10.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: 22sin(x2)cos(x2)−22sin(x2)cos(x2)- 2cos2x2+2sin2x2=2cos2x2+2sin2x2= 10sin2x2+10cos2x210sin2x2+10cos2x2

4tg2x2—11tgx2+6=04tg2x2—11tgx2+6=0

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. tgx2=2tgx2=2, x1=2arctg2+2πnx1=2arctg2+2πn, n∈Zn∈Z,
2. tgx2=34tgx2=34, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x1=2arctg2+2πn,n∈Zx1=2arctg2+2πn,n∈Z, x2=arctg34+2πnx2=arctg34+2πn, n∈Zn∈Z.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении asinx+bcosx=casinx+bcosx=c, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на √a2+b2a2+b2:

a√a2+b2sinx+aa2+b2sinx+ b√a2+b2cosx=ba2+b2cosx= c√a2+b2ca2+b2.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: a√a2+b2=cosφaa2+b2=cosφ, b√a2+b2=sinφba2+b2=sinφ, c√a2+b2=Cca2+b2=C, тогда:

cosφsinx+sinφcosx=Ccosφsinx+sinφcosx=C.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: 3sinx+4cosx=23sinx+4cosx=2.

Решение. Разделим обе части равенства на √32+4232+42, получим:

3sinx√32+42+3sinx32+42+ 4cosx√32+42=4cosx32+42= 2√32+42232+42

35sinx+45cosx=2535sinx+45cosx=25.

Обозначим 35=cosφ35=cosφ, 45=sinφ45=sinφ. Так как sinφ>0sinφ>0, cosφ>0cosφ>0, то в качестве вспомогательного угла возьмем φ=arcsin 45φ=arcsin 45. Тогда наше равенство запишем в виде:

cosφsinx+sinφcosx=25cosφsinx+sinφcosx=25

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

sin(x+φ)=25sin(x+φ)=25,

x+φ=(−1)narcsin 25+πnx+φ=(-1)narcsin 25+πn, n∈Zn∈Z,

x=(−1)n arcsin 25−x=(-1)n arcsin 25- arcsin 45+πnarcsin 45+πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x=(−1)narcsin 25−x=(-1)narcsin 25- arcsin 45+πnarcsin 45+πn, n∈Zn∈Z.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. sinx1+cosx=1−cosxsinx1+cosx=1-cosx.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на (1+cosx)(1+cosx). В результате получим:

sinx1+cosx=sinx1+cosx= (1−cosx)(1+cosx)1+cosx(1-cosx)(1+cosx)1+cosx

sinx1+cosx=sinx1+cosx= 1−cos2x1+cosx1-cos2x1+cosx

sinx1+cosx=sinx1+cosx= sin2x1+cosxsin2x1+cosx

sinx1+cosx−sinx1+cosx- sin2x1+cosx=0sin2x1+cosx=0

sinx−sin2x1+cosx=0sinx-sin2x1+cosx=0

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим 1+cosx≠01+cosx≠0, cosx≠−1cosx≠-1, x≠π+2πn,n∈Zx≠π+2πn,n∈Z.

Приравняем к нулю числитель дроби: sinx−sin2x=0sinx-sin2x=0, sinx(1−sinx)=0sinx(1-sinx)=0. Тогда sinx=0sinx=0 или 1−sinx=01-sinx=0.

1. sinx=0sinx=0, x=πnx=πn, n∈Zn∈Z
2. 1−sinx=01-sinx=0, sinx=−1sinx=-1, x=π2+2πn,n∈Zx=π2+2πn,n∈Z.

Учитывая, что x≠π+2πn,n∈Zx≠π+2πn,n∈Z, решениями будут x=2πn,n∈Zx=2πn,n∈Z и x=π2+2πnx=π2+2πn, n∈Zn∈Z.

Ответ. x=2πnx=2πn, n∈Zn∈Z, x=π2+2πnx=π2+2πn, n∈Zn∈Z.